真题
解题方法
1 . 设椭圆
的左、右焦点分别为
，
，A是椭圆上的一点，
，原点O到直线
的距离为
．
(1)证明
；
(2)求
使得下述命题成立：设圆
上任意点
处的切线交椭圆于
两点，则
．
的左、右焦点分别为，，A是椭圆上的一点，，原点O到直线的距离为．(1)证明
；(2)求
使得下述命题成立：设圆上任意点处的切线交椭圆于两点，则．
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解题方法
2 . 已知椭圆
的右焦点为
．过
且斜率为正数的直线交
于
两点，
关于
轴，
轴的对称点分别为
，且
．
(1)求的方程；
(2)设直线
交轴于点
，直线
与的另一交点为
，证明：
．
的右焦点为．过且斜率为正数的直线交于两点，关于轴，轴的对称点分别为，且．(1)求
的方程；(2)设直线
交轴于点，直线与的另一交点为，证明：．
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2022-12-24更新
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357次组卷
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2卷引用：山西省三重教育2023届高三上学期12月联考数学试题
3 . 如图，在平面直角坐标系
中，已知点
，点
在圆
上运动，点满足：线段
的中点在线段
上，且
.设点的轨迹为
.
(1)求的方程；
(2)设与轴的交点分别为
在
的左边，过
与轴不垂直的直线
交于
，
两点，若直线
的斜率分别为
，求证：
为定值.
中，已知点，点在圆上运动，点满足：线段的中点在线段上，且.设点的轨迹为.(1)求
的方程；(2)设
与轴的交点分别为在的左边，过与轴不垂直的直线交于，两点，若直线的斜率分别为，求证：为定值.
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解题方法
4 . 已知椭圆
，过点
作椭圆的两条切线，且两切线垂直.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知椭圆的上顶点为
为坐标原点，过
两点的圆
与
交于
两点，直线
分别交椭圆于异于的
两点.证明：直线
过定点.
，过点作椭圆的两条切线，且两切线垂直.(1)求椭圆
的方程；(2)已知椭圆
的上顶点为为坐标原点，过两点的圆与交于两点，直线分别交椭圆于异于的两点.证明：直线过定点.
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2022高三·全国·专题练习
5 . 已知斜率为
的直线与椭圆
交于、
两点，线段
的中点为
，
．
(1)证明：
；
(2)设为的右焦点，为上的一点，且
，证明：
，
，
成等差数列．
的直线与椭圆交于、两点，线段的中点为，．(1)证明：
；(2)设
为的右焦点，为上的一点，且，证明：，，成等差数列．
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解题方法
6 . 已知椭圆经过点
，离心率为
，过点
的直线l与椭圆C交于不同的两点M，N.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线AM和直线AN的斜率分别为
和
，求证：
为定值
经过点 ，离心率为，过点的直线l与椭圆C交于不同的两点M，N.(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线AM和直线AN的斜率分别为
和 ，求证：为定值
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2022-09-11更新
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1780次组卷
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5卷引用：第五篇 向量与几何 专题6 调和线束 微点3 调和线束（三）
解题方法
7 . 已知椭圆
的离心率为
，P为椭圆E上一点，Q为圆
上一点，
的最大值为3（P，Q异于椭圆E的上下顶点）.
(1)求椭圆E的方程；
(2)A为椭圆E的下顶点，直线AP，AQ的斜率分别记为
，
，且
，求证：直线PQ过定点，并求出此定点的坐标.
的离心率为，P为椭圆E上一点，Q为圆上一点，的最大值为3（P，Q异于椭圆E的上下顶点）.(1)求椭圆E的方程；
(2)A为椭圆E的下顶点，直线AP，AQ的斜率分别记为
，，且，求证：直线PQ过定点，并求出此定点的坐标.
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解题方法
8 . 已知椭圆的离心率为，短轴长为2.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)在圆
上取一动点P作椭圆C的两条切线，切点分别记为M，N，（PM与PN的斜率均存在），直线PM，PN分别与圆O相交于异于点P的A、B两点.
①求证：
；
②求
面积的取值范围.
的离心率为，短轴长为2.(1)求椭圆C的标准方程；
(2)在圆
上取一动点P作椭圆C的两条切线，切点分别记为M，N，（PM与PN的斜率均存在），直线PM，PN分别与圆O相交于异于点P的A、B两点.①求证：
；②求
面积的取值范围.
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解题方法
9 . 已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，焦距是
.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线l：
与椭圆C交于两个不同点D，E，以线段
为直径的圆经过原点，求实数
的值；
(3)设A，B为椭圆C的左､右顶点，
为椭圆C上除A，B外任意一点，线段
的垂直平分线分别交直线和直线
于点P和点Q，分别过点P和Q作轴的垂线，垂足分别为M和N，求证：线段MN的长为定值.
的长轴长是短轴长的2倍，焦距是.(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线l：
与椭圆C交于两个不同点D，E，以线段为直径的圆经过原点，求实数的值；(3)设A，B为椭圆C的左､右顶点，
为椭圆C上除A，B外任意一点，线段的垂直平分线分别交直线和直线于点P和点Q，分别过点P和Q作轴的垂线，垂足分别为M和N，求证：线段MN的长为定值.
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2022-04-14更新
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447次组卷
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5卷引用：上海市青浦高级中学2023届高三下学期5月质量检测数学试题
10 . 椭圆
，过椭圆
外一点
作椭圆的两条切线
，切点分别为
和
的夹角为
.
(1)若
，求此时
的值；
(2)若
，求证：随的增大而减小；
(3)是否存在圆
，使得在其上做圆周运动时，始终可以保持
？不论存在与否，均请说明理由.
，过椭圆外一点作椭圆的两条切线，切点分别为和的夹角为.(1)若
，求此时的值；(2)若
，求证：随的增大而减小；(3)是否存在圆
，使得在其上做圆周运动时，始终可以保持？不论存在与否，均请说明理由.
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