1 . 已知椭圆过点，且离心率为．设，为椭圆的左、右顶点，为椭圆上异于，的一点，直线，分别与直线相交于，两点，且直线与椭圆交于另一点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)求证：直线与的斜率之积为定值；
(3)判断三点，，是否共线？并证明你的结论．

2 . 已知椭圆.
(1)若点在椭圆C上，证明：直线与椭圆C相切；
(2)设曲线的切线l与椭圆C交于两点，且以为切点的椭圆C的切线交于M点，求面积的取值范围.

4 . 已知中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆M的离心率为，椭圆上异于长轴顶点的任意点A与左右两焦点，构成的三角形中面积的最大值为．
(1)求椭圆M的标准方程；
(2)若A与C是椭圆M上关于x轴对称的两点，连接与椭圆的另一交点为B，求证：直线AB与x轴交于定点．

5 . 已知椭圆C：，左、右顶点分别为．
   
(1)设直线l：与x轴交于点D，P点是椭圆C异于的动点，直线，分别交直线l于E，F两点，求证：为定值．
(2)如图，原点O到：距离为1，直线与椭圆C交于A，B两点，直线：与平行且与椭圆C相切于点M（O，M位于直线的两侧）．记，的面积分别为，若，求实数的取值范围．

6 . 在平面直角坐标系中，椭圆的右顶点和上顶点分别为，点是直线上的动点，设直线斜率分别为.
(1)求椭圆的离心率；
(2)求证：为定值；
(3)若直线与椭圆的另一个交点分别为，试判断直线与直线的位置关系.

7 . 如图，已知椭圆经过点，离心率．

(1)求椭圆的标准方程；
(2)椭圆上任意点轴上一点，若的最小值为，求实数的取值范围；
(3)设是经过右焦点的任一弦（不经过点），直线与直线相交于点，记的斜率分别为，求证:成等差数列.

8 . 在平面直角坐标系xOy中，椭圆的左焦点为点F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为3.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设不过原点O且斜率为的直线l与椭圆C交于不同的两点P，Q，线段PQ的中点为T，直线OT与椭圆C交于两点M，N，证明：.

9 . 已知椭圆，其上顶点为；
(1)若直线与椭圆交于、两点，求证：为定值；
(2)由椭圆上不同三点构成的三角形称为椭圆的内接三角形，现以为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形，求内接等腰直角三角形的个数．

10 . 已知椭圆的离心率为，椭圆的一个顶点与两个焦点构成的三角形面积为2. 已知直线与椭圆C交于A，B两点，且与x轴，y轴交于M，N两点.
   
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若，求k的值；
(3)若点Q的坐标为，求证：为定值.