1 . 已知椭圆的焦距为，连接其四个顶点构成的四边形的面积为.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线交C于两点，直线与的斜率互为相反数，证明：过定点.

2 . 在平面直角坐标系中，椭圆的离心率是，抛物线的焦点F是椭圆C的一个顶点.
（1）求椭圆C的方程
（2）设直线l不经过F，且与C相交于A，B两点，若直线与的斜率之和为-1，证明：l过定点.

3 . 已知圆：，点，点是圆上任意一点，线段的垂直平分线交线段于点.
（1）求点的轨迹方程.
（2）设点，是的轨迹上异于顶点的任意两点，以为直径的圆过点.求证直线过定点，并求出该定点的坐标.

4 . 已知过点，且与内切，设的圆心的轨迹为，
（1）求轨迹C的方程；
（2）设直线不经过点且与曲线交于点两点，若直线与直线的斜率之积为，判断直线是否过定点，若过定点，求出此定点的坐标，若不过定点，请说明理由．

5 . 已知椭圆（）的离心率为，短轴长为.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若直线与椭圆交于不同的两点，且线段的垂直平分线过定点，求实数的取值范围．

6 . 已知椭圆:的左、右焦点分别为,,上顶点为,离心率为,且的面积为.
（1）求椭圆的方程;
（2）过点的直线与椭圆交于,两点,且点,位于轴的同侧,设直线与轴交于点,,若,求直线的方程.

7 . 椭圆：（）的离心率为，其左焦点到点的距离为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线：与椭圆相交于，两点（，不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点.求证：直线过定点，并求出该定点的坐标.

8 . 已知椭圆的右焦点为，且经过点.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设O为原点，直线与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N，若|OM|·|ON|=2，求证：直线l经过定点.

9 . 已知椭圆的左、右顶点分别为,以线段为直径的圆与直线相切，B为上顶点．
(1)求椭圆C的离心率;
(2)当时，若不过B的动直线与椭圆C交于P,Q两点,且,求证:直线过定点,并求该定点的坐标.

10 . 如图，椭圆的右焦点为，过点的直线与椭圆交于，两点，直线与轴相交于点，点在直线上，且满足轴.

（1）当直线与轴垂直时，求直线的方程；
（2）证明：直线经过线段的中点.