1 . 在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：的离心率为，左顶点为A，上顶点为B，．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)不过椭圆点A的直线l交椭圆C于M，N两点，记直线l，AM，AN的斜率分别为k，k₁，k₂，若．证明：直线l过定点，并求出定点的坐标．

2 . 已知平面内两点，动点P满足：.
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)设M，N是轨迹C上的两点，直线与曲线相切.证明：M，N，三点共线的充要条件是.

3 . 已知椭圆：的短轴长为，，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆的上顶点，.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设为椭圆的右顶点，直线与椭圆相交于，两点（，两点异于点），且，求的最大值.

5 . 已知椭圆过点，且离心率为.

（1）求椭圆的方程；
（2）过作斜率分别为的两条直线，分别交椭圆于点，且，证明：直线过定点.

6 . 已知椭圆C₁:=1(a>b>0)的右顶点与抛物线C₂:y²=2px(p>0)的焦点重合，椭圆C₁的离心率为，过椭圆C₁的右焦点F且垂直于x轴的直线截抛物线所得弦的长度为4.
(1)求椭圆C₁和抛物线C₂的方程.
(2)过点A(-4，0)的直线l与椭圆C₁交于M，N两点，点M关于x轴的对称点为E.当直线l绕点A旋转时，直线EN是否经过一定点?请判断并证明你的结论.

7 . 已知椭圆C的方程为，右焦点为，且离心率为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设M，N是椭圆C上的两点，直线与曲线相切．证明：M，N，F三点共线的充要条件是．

8 . 已知椭圆的左､右焦点分别为，，点为椭圆上一点.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作动直线与椭圆交于A，两点，过点A作直线的垂线，垂足为，求证：直线过定点.

9 . 已知过圆C₁：x²+y²＝1上一点的切线，交坐标轴于A、B两点，且A、B恰好分别为椭圆C₂：（a＞b＞0）的上顶点和右顶点．
（1）求椭圆C₂的方程；
（2）已知P为椭圆的左顶点，过点P作直线PM、PN分别交椭圆于M、N两点，若直线MN过定点Q（﹣1，0），求证：PM⊥PN．

10 . 已知椭圆：()的离心率为，椭圆与抛物线交于，两点(在轴上方)，椭圆的右焦点在直线上，为坐标原点，，，分别为椭圆的左､右､上顶点.
（1）求椭圆的方程；
（2）设为椭圆上一点(异于顶点)，直线与轴交于点，直线上有一点满足，证明直线经过点.