1 . 已知，为双曲线C的焦点，点在C上．

(1)求C的方程；
(2)点A，B在C上，直线PA，PB与y轴分别相交于M，N两点，点Q在直线AB上，若＋，＝0，是否存在定点T，使得|QT|为定值？若有，请求出该定点及定值；若没有，请说明理由.

2 . 在平面直角坐标系中，双曲线的离心率为.斜率为的直线经过点，点是直线与双曲线的交点，且.
(1)求双曲线的方程；
(2)若经过定点的直线与双曲线相交于、两点，经过点斜率为的直线与直线的交点为，求证：直线经过轴上的定点.

3 . 已知双曲线的左、右顶点分别为，，离心率为2．
(1)过右焦点的直线与双曲线交于两点，且的面积是，求直线的方程；
(2)设点在双曲线的右支上，直线、在轴上的截距之比为，证明：直线过定点．

4 . 已知椭圆和双曲线，过椭圆左焦点且斜率为的直线交椭圆于，两点．设是椭圆的右顶点，记直线，的斜率分别为，，直线，与双曲线的另一个交点分别为，，．
(1)求的值；
(2)求证：直线过定点．

5 . 已知双曲线的焦距为10，且经过点．A，B为双曲线E的左、右顶点，P为直线上的动点，连接PA，PB交双曲线E于点C，D（不同于A，B）．
(1)求双曲线E的标准方程．
(2)直线CD是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．

6 . 已知双曲线的左顶点为，过左焦点的直线与交于两点.当轴时，，的面积为3.
(1)求的方程；
(2)证明：以为直径的圆经过定点.

7 . 已知双曲线C：(a＞0，b＞0)的左、右顶点为，P(4，1)是C上一点，且直线PA₁与PA₂的斜率乘积为．
(1)求C的方程．
(2)设直线l与C交于点M，N，且PM⊥PN．证明：直线l过定点．

8 . 已知双曲线的离心率为2，左、右焦点分别为，,点与，构成的三角形的面积为2.
(1)求双曲线的方程；
(2)已知直线（，且）与双曲线交于，两点，点关于轴的对称点为，若点在直线上，试判断直线是否经过轴上的一个定点？若经过定点，求出定点的坐标；若不经过定点，请说明理由.

9 . 已知双曲线经过点，其渐近线方程为.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过点的直线与曲线分别交于点和（点和都异于点），若满足，求证：直线过定点.

10 . 已知双曲线C过点,且C的渐近线方程为.
(1)求C的方程;
(2)设A为C的右顶点,过点的直线与圆O:交于点M,N,直线AM,AN与C的另一交点分别为D,E,求证:直线DE过定点.