1 . 已知平面直角坐标系
中，有真命题：函数
的图象是双曲线，其渐近线分别为直线
和y轴．例如双曲线
的渐近线分别为x轴和y轴，可将其图象绕原点
顺时针旋转
得到双曲线
的图象．
(1)求双曲线
的离心率；
(2)已知曲线
，过
上一点
作切线分别交两条渐近线于
两点，试探究
面积是否为定值，若是，则求出该定值；若不是，则说明理由；
(3)已知函数
的图象为Γ，直线
，过
的直线与Γ在第一象限交于
两点，过作
的垂线，垂足分别为
，直线
交于点
，求
面积的最小值．
中，有真命题：函数的图象是双曲线，其渐近线分别为直线和y轴．例如双曲线的渐近线分别为x轴和y轴，可将其图象绕原点顺时针旋转得到双曲线的图象．(1)求双曲线
的离心率；(2)已知曲线
，过上一点作切线分别交两条渐近线于两点，试探究面积是否为定值，若是，则求出该定值；若不是，则说明理由；(3)已知函数
的图象为Γ，直线，过的直线与Γ在第一象限交于两点，过作的垂线，垂足分别为，直线交于点，求面积的最小值．
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名校
解题方法
2 . 已知双曲线C：
（
，
）的离心率为2，
在C上.
(1)求双曲线C的方程；
(2)不经过点P的直线l与C相交于M，N两点，且
，求证：直线l过定点.
（，）的离心率为2，在C上.(1)求双曲线C的方程；
(2)不经过点P的直线l与C相交于M，N两点，且
，求证：直线l过定点.
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2023-09-04更新
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473次组卷
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3卷引用：福建省福州市第四十中学2024届高三上学期10月数学适应性试题
名校
解题方法
3 . 已知双曲线
的离心率为2.
(1)求双曲线
的渐近线方程；
(2)若双曲线的右焦点为
，若直线
与的左，右两支分别交于
两点，过作
的垂线，垂足为
，试判断直线
是否过定点，若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由.
的离心率为2.(1)求双曲线
的渐近线方程；(2)若双曲线
的右焦点为，若直线与的左，右两支分别交于两点，过作的垂线，垂足为，试判断直线是否过定点，若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由.
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2023-06-22更新
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975次组卷
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5卷引用：福建省厦门第一中学2023届高三三模数学试题
福建省厦门第一中学2023届高三三模数学试题广东省茂名市第一中学2023届高三三模数学试题（已下线）专题3.5 直线与双曲线的位置关系【七大题型】-2023-2024学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第一册）（已下线）专题11 平面解析几何-4（已下线）专题06 圆锥曲线大题
解题方法
4 . 已知是圆
：
上的动点，点
，直线
与圆的另一个交点为
，点
在直线
上，
，动点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)若过点
的直线与曲线相交于
，
两点，且，都在
轴上方，问：在轴上是否存在定点
，使得
的内心在一条定直线上?请你给出结论并证明.
是圆：上的动点，点，直线与圆的另一个交点为，点在直线上，，动点的轨迹为曲线.(1)求曲线
的方程；(2)若过点
的直线与曲线相交于，两点，且，都在轴上方，问：在轴上是否存在定点，使得的内心在一条定直线上?请你给出结论并证明.
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5 . 已知双曲线
的左、右焦点分别为
，
，在双曲线上，且
轴，
．
(1)求双曲线的渐近线方程；
(2)设
为双曲线的右顶点，直线与双曲线交于不同于的，两点，若以为直径的圆经过点，且
于
，证明：存在定点，使
为定值．
的左、右焦点分别为，，在双曲线上，且轴，．(1)求双曲线
的渐近线方程；(2)设
为双曲线的右顶点，直线与双曲线交于不同于的，两点，若以为直径的圆经过点，且于，证明：存在定点，使为定值．
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2023-05-03更新
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728次组卷
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2卷引用：福建省莆田市2023届高三毕业班第四次教学质量检测数学试题
名校
解题方法
6 . 在平面直角坐标系中，已知点
，点满足
，记点的轨迹为.
(1)求的方程；
(2)点
，点
为上的两个动点，且满足
.过作直线
交于点.若
，求直线
的斜率.
中，已知点，点满足，记点的轨迹为.(1)求
的方程；(2)点
，点为上的两个动点，且满足.过作直线交于点.若，求直线的斜率.
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2023-05-03更新
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724次组卷
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2卷引用：福建省宁德市普通高中2023届高三质量检测数学试题
名校
解题方法
7 . 已知双曲线
，点是双曲线的左顶点，点坐标为
.
(1)过点作的两条渐近线的平行线分别交双曲线于，两点.求直线
的方程；
(2)过点作直线与椭圆
交于点，，直线
，
与双曲线的另一个交点分别是点，
.试问：直线
是否过定点，若是，请求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由.
，点是双曲线的左顶点，点坐标为.(1)过点
作的两条渐近线的平行线分别交双曲线于，两点.求直线的方程；(2)过点
作直线与椭圆交于点，，直线，与双曲线的另一个交点分别是点，.试问：直线是否过定点，若是，请求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由.
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2023-04-15更新
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1542次组卷
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5卷引用：福建省龙岩第一中学2023届高三三模数学试题
福建省龙岩第一中学2023届高三三模数学试题浙江省湖州、衢州、丽水三地市2023届高三下学期4月教学质量检测(二模)数学试题（已下线）模块八 专题9 以解析几何为背景的压轴解答题（已下线）专题07 平面解析几何（已下线）押新高考第21题 圆锥曲线
名校
解题方法
8 . 已知双曲线
（，）经过点
，渐近线经过点
.
(1)求的方程；
(2)作直线与的两支分别交于点，，使得
.求证：直线过定点.
（，）经过点，渐近线经过点.(1)求
的方程；(2)作直线
与的两支分别交于点，，使得.求证：直线过定点.
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解题方法
9 . 已知双曲线
的焦距为
且经过点
.
(1)求双曲线的方程：
(2)若直线不经过点，与双曲线C交于A、B两点，且直线MA，MB的斜率之和为1，求证：直线l恒过定点.
的焦距为且经过点.(1)求双曲线
的方程：(2)若直线
不经过点，与双曲线C交于A、B两点，且直线MA，MB的斜率之和为1，求证：直线l恒过定点.
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解题方法
10 . 已知
为双曲线的右焦点，点
在上．
(1)若直线
，
的斜率之和为
，求直线
的斜率；
(2)若
，过的直线与的两条渐近线分别交于，两点，
，过且斜率为
的直线与过且斜率为
的直线交于点，若
，求证：，，三点共线．
为双曲线的右焦点，点在上．(1)若直线
，的斜率之和为，求直线的斜率；(2)若
，过的直线与的两条渐近线分别交于，两点，，过且斜率为的直线与过且斜率为的直线交于点，若，求证：，，三点共线．
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