名校
解题方法
1 . 在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：
（
，
）的左、右焦点分别为
、
，
是双曲线C上一点，且
.
(1)求双曲线C的方程；
(2)过点P作直线l与双曲线C的两条渐近线分别交于R、S两点.若点P恰为线段RS的中点，求直线l的方程；
(3)设斜率为-2的直线l与双曲线C交于A、B两点，点B关于坐标原点的对称点为D.若直线PA、PD的斜率均存在且分别为
、
，求证：
为定值.
（，）的左、右焦点分别为、，是双曲线C上一点，且.(1)求双曲线C的方程；
(2)过点P作直线l与双曲线C的两条渐近线分别交于R、S两点.若点P恰为线段RS的中点，求直线l的方程；
(3)设斜率为-2的直线l与双曲线C交于A、B两点，点B关于坐标原点的对称点为D.若直线PA、PD的斜率均存在且分别为
、，求证：为定值.
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2 . 已知点
在双曲线
上
(1)求双曲线
的方程
(2)过点
的互相垂直的两直线与
轴分别交于点
，求
面积的最小值
(3)已知直线
交双曲线于
两点，且直线
的斜率之和为0，求直线的斜率
在双曲线上(1)求双曲线
的方程(2)过点
的互相垂直的两直线与轴分别交于点，求面积的最小值(3)已知直线
交双曲线于两点，且直线的斜率之和为0，求直线的斜率
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2024-03-29更新
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469次组卷
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2卷引用：上海市进才中学2023-2024学年高三下学期3月月考数学试卷
名校
解题方法
3 . 已知双曲线
左右焦点分别为
，点
为右支上一动点，圆
与
的延长线、
的延长线和线段
都相切，则
______ .
左右焦点分别为，点为右支上一动点，圆与的延长线、的延长线和线段都相切，则
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2024-02-23更新
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412次组卷
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3卷引用：上海市松江二中2023-2024学年高二下学期3月月考数学试卷
上海市松江二中2023-2024学年高二下学期3月月考数学试卷上海市华东师范大学第二附属中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试卷（已下线）专题04 圆锥曲线（六大题型+优选提升题）-【好题汇编】备战2023-2024学年高二数学下学期期末真题分类汇编（沪教版2020选择性必修，上海专用）
解题方法
4 . 已知双曲线
为双曲线上的任意点.
(1)求双曲线的两条渐近线方程及渐近线夹角的大小；
(2)求证：点到双曲线的两条渐近线的距离的乘积是一个常数.
为双曲线上的任意点.(1)求双曲线
的两条渐近线方程及渐近线夹角的大小；(2)求证：点
到双曲线的两条渐近线的距离的乘积是一个常数.
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2024-02-12更新
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209次组卷
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3卷引用：上海市嘉定区第二中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题
上海市嘉定区第二中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题上海市新川中学2023-2024学年高二上学期期末数学试题（已下线）专题04 圆锥曲线（六大题型+优选提升题）-【好题汇编】备战2023-2024学年高二数学下学期期末真题分类汇编（沪教版2020选择性必修，上海专用）
5 . 已知
既是双曲线
的两条渐近线，也是双曲线
的渐近线，且双曲线
的焦距是双曲线
的焦距的
倍．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)任作一条平行于
的直线依次与直线
以及双曲线
交于点
，求
的值；
(3)如图，为双曲线上任意一点，过点分别作的平行线交于
两点，证明：
的面积为定值，并求出该定值．
既是双曲线的两条渐近线，也是双曲线的渐近线，且双曲线的焦距是双曲线的焦距的倍．(1)求双曲线
的标准方程；(2)任作一条平行于
的直线依次与直线以及双曲线交于点，求的值；(3)如图，
为双曲线上任意一点，过点分别作的平行线交于两点，证明：的面积为定值，并求出该定值．
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6 . 已知双曲线
，
是双曲线
上一点.
(1)若椭圆以双曲线的顶点为焦点，长轴长为
，求椭圆的标准方程；
(2)设是第一象限中双曲线渐近线上一点，
是双曲线上一点，且
，求
的面积
（
为坐标原点）；
(3)当直线：
（常数
）与双曲线的左支交于、
两点时，分别记直线
、
的斜率为、，求证：
为定值.
，是双曲线上一点.(1)若椭圆
以双曲线的顶点为焦点，长轴长为，求椭圆的标准方程；(2)设
是第一象限中双曲线渐近线上一点，是双曲线上一点，且，求的面积（为坐标原点）；(3)当直线
：（常数）与双曲线的左支交于、两点时，分别记直线、的斜率为、，求证：为定值.
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2023-12-13更新
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630次组卷
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4卷引用：上海市宝山区上海交通大学附属中学2023-2024学年高二上学期12月数学卓越测试题
上海市宝山区上海交通大学附属中学2023-2024学年高二上学期12月数学卓越测试题上海市杨浦区2024届高三上学期模拟质量调研数学试题广东省珠海市第一中学2023-2024学年高二上学期1月阶段测试数学试题（已下线）2024年高考数学全真模拟卷06（新题型地区专用）
名校
解题方法
7 . 我们约定，如果一个椭圆的长轴和短轴分别是另一条双曲线的实轴和虚轴，则称它们互为“姊妹”圆锥曲线.已知椭圆：
，双曲线是椭圆的“姊妹”圆锥曲线，
，
分别为，的离心率，且
，点M，N分别为椭圆的左、右顶点，设过点
的动直线l交双曲线右支A，B两点，若直线AM，BN的斜率分别为
，
.
(1)求双曲线的方程；
(2)试探究与的
是否定值.若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由；
(3)求
的取值范围.
：，双曲线是椭圆的“姊妹”圆锥曲线，，分别为，的离心率，且，点M，N分别为椭圆的左、右顶点，设过点的动直线l交双曲线右支A，B两点，若直线AM，BN的斜率分别为，.(1)求双曲线
的方程；(2)试探究
与的是否定值.若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由；(3)求
的取值范围.
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2023-10-17更新
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1247次组卷
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16卷引用：上海交通大学附属中学2024届高三上学期10月月考数学试题
上海交通大学附属中学2024届高三上学期10月月考数学试题江苏省南京市第五高级中学2023届高三下学期3月月考数学试题广东省深圳市福田区福田中学2023届高三下学期第六次月考数学试题上海市新中高级中学2022-2023学年高二下学期期中数学试题重庆市九龙坡区杨家坪中学2023-2024学年高二上学期第二次月考数学试题安徽省“江南十校”2023届高三下学期3月一模数学试题（已下线）专题16圆锥曲线（解答题）（已下线）模块八 专题9 以解析几何为背景的压轴解答题（已下线）安徽省“江南十校”2023届高三下学期3月一模数学试题变式题17-22江苏省南京市励志高级中学2022-2023学年高二下学期期末数学试题（已下线）考点19 解析几何中的探索性问题 2024届高考数学考点总动员（已下线）考点18 解析几何中的范围、最值问题 2024届高考数学考点总动员【练】（已下线）专题07 双曲线的压轴题（5类题型+过关检测）-【常考压轴题】2023-2024学年高二数学上学期压轴题攻略（人教A版2019选择性必修第一册）（已下线）3.2.2 双曲线的简单的几何性质（AB分层训练）-【冲刺满分】2023-2024学年高二数学重难点突破+分层训练同步精讲练（人教A版2019选择性必修第一册）（已下线）新题型01 新高考新结构二十一大考点汇总-3（已下线）专题12 双曲线的几何性质8种常见考法归类（3）
8 . 在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线：
．
(1)求出双曲线的渐近线方程；
(2)过的左顶点引的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积；
(3)设斜率为1的直线l交于P，Q两点，若l与圆
相切，求证：
．
：．(1)求出双曲线
的渐近线方程；(2)过
的左顶点引的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积；(3)设斜率为1的直线l交
于P，Q两点，若l与圆相切，求证：．
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解题方法
9 . 已知双曲线的中心在坐标原点，左焦点与右焦点都在轴上，离心率为
，过点的动直线与双曲线交于点、
．设
．的渐近线方程；
(2)若点、都在双曲线的右支上，求
的最大值以及取最大值时
的正切值；（关于求的最值．某学习小组提出了如下的思路可供参考：①利用基本不等式求最值；②设
为
，建立相应数量关系并利用它求最值；③设直线l的斜率为k，建立相应数量关系并利用它求最值）.
(3)若点在双曲线的左支上（点不是该双曲线的顶点，且
，求证：
是等腰三角形．且
边的长等于双曲线的实轴长的2倍．
的中心在坐标原点，左焦点与右焦点都在轴上，离心率为，过点的动直线与双曲线交于点、．设．
的渐近线方程；(2)若点
、都在双曲线的右支上，求的最大值以及取最大值时的正切值；（关于求的最值．某学习小组提出了如下的思路可供参考：①利用基本不等式求最值；②设为，建立相应数量关系并利用它求最值；③设直线l的斜率为k，建立相应数量关系并利用它求最值）.(3)若点
在双曲线的左支上（点不是该双曲线的顶点，且，求证：是等腰三角形．且边的长等于双曲线的实轴长的2倍．
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2023-04-13更新
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743次组卷
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5卷引用：上海市桃浦中学2023-2024学年高三下学期3月月考数学试卷
上海市桃浦中学2023-2024学年高三下学期3月月考数学试卷上海市黄浦区2023届高三二模数学试题（已下线）专题08 平面解析几何-学易金卷（已下线）重难点03圆锥曲线综合七种问题解题方法-【满分全攻略】2022-2023学年高二数学下学期核心考点+重难点讲练与测试（沪教版2020选修一+选修二）（已下线）专题09 双曲线（四大核心考点六种题型）-【寒假自学课】2024年高二数学寒假提升学与练（沪教版2020）
10 . 如图，已知椭圆
的两个焦点为，，且，的双曲线
的顶点，双曲线的一条渐近线方程为
，设P为该双曲线上异于顶点的任意一点，直线
，
的斜率分别为，，且直线和与椭圆
的交点分别为A，B和C，D．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)证明：直线，的斜率之积·为定值；
(3)求
的取值范围．
的两个焦点为，，且，的双曲线的顶点，双曲线的一条渐近线方程为，设P为该双曲线上异于顶点的任意一点，直线，的斜率分别为，，且直线和与椭圆的交点分别为A，B和C，D．(1)求双曲线
的标准方程；(2)证明：直线
，的斜率之积·为定值；(3)求
的取值范围．
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2023-03-28更新
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946次组卷
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6卷引用：上海市四校（复兴中学、奉贤中学、金山中学、松江二中）2023届高三下学期3月联考数学试题
上海市四校（复兴中学、奉贤中学、金山中学、松江二中）2023届高三下学期3月联考数学试题上海市曹杨第二中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试卷上海市新中高级中学2022-2023学年高二下学期期中数学试题（已下线）重难点03圆锥曲线综合七种问题解题方法-【满分全攻略】2022-2023学年高二数学下学期核心考点+重难点讲练与测试（沪教版2020选修一+选修二）（已下线）安徽省“江南十校”2023届高三下学期3月一模数学试题变式题17-22（已下线）重难点突破06 弦长问题及长度和、差、商、积问题（七大题型）-2
