1 . 设数列满足下列条件:,且当时,.记项数为的数列的个数为,则下列说法正确的有( )
A. | B. |
C. | D. |
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2 . 设都是不小于3的整数,当时,,设集合,如果与不能同时成立,则( )
A.若,则或 |
B.若,则的可能取值为3或4或5 |
C.若的值确定,则 |
D.若为奇数,则的最大值为 |
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3 . (1)我们学过组合恒等式,实际上可以理解为,请你利用这个观点快速求解:.(计算结果用组合数表示)
(2)(i)求证:;
(ii)求值:.
(2)(i)求证:;
(ii)求值:.
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4 . 某校数学兴趣小组的同学对杨辉三角性质进行探究发现:“第n行各数平方和等于第2n行中间的数,即:”,证明如下.证明:考虑多项式中的系数,一方面:代数式中,的系数为.另一方面:代数式中,的系数为.因为,所以.所以.
(1)如果证明过程中考虑中的系数,能得到的组合恒等式为________.请先填空,再构造一个实际背景,对所得恒等式的意义作出解释;
(2)证明:①;②.注:组合数,若,则.
(1)如果证明过程中考虑中的系数,能得到的组合恒等式为________.请先填空,再构造一个实际背景,对所得恒等式的意义作出解释;
(2)证明:①;②.注:组合数,若,则.
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名校
解题方法
5 . 若等差数列满足.对,在中的所有项组成集合.记中最小值为,最大值为,元素个数为,所有元素和为,则下列命题中①为等比数列;②;③;④.所有正确的命题的序号是_____________ .
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6 . 对给定的正整数,令.对任意,,定义与的距离.设A是的至少含有两个元素的子集,集合中的最小值称为A的特征值,记作.
(1)设,,直接写出集合的特征值;
(2)当时,求证:存在集合A满足对任意,都存在唯一的,使得,且A中不同元素之间的距离为5;
(3)当时,且,求A中元素个数的最大值.
(1)设,,直接写出集合的特征值;
(2)当时,求证:存在集合A满足对任意,都存在唯一的,使得,且A中不同元素之间的距离为5;
(3)当时,且,求A中元素个数的最大值.
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解题方法
7 . 抛掷一校质地均匀的正四面体骰子(四个面上分别标有数字1,2,3,4),底面的点数为1记为事件,抛掷次后事件发生奇数次的概率记为,则______ ,______ .
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8 . 组合数学研究的内容之一是计数,母函数是重要的计数工具之一.其定义如下:对于序列,定义为序列的母函数.母函数的计数方法与二项式定理的原理相似:假设有红、黄、蓝各一个小球,计算由它们组成的所有组合的个数,可考虑三步完成,即每个小球是否参与组合我们用即1代表小球不参与,x代表小球参与,根据分类加法计数原理,代表一个小球是否参与组合的两种情况,根据分步乘法计数原理,用代数式表示三个小球是否参与组合的情况,所以母函数为,例如其中中的系数3就是由两个小球构成的所有组合个数,而总的组合个数就是.
(1)假设有四个不同的小球,令为由它们组成的含有n个小球的所有组合个数,试写出的一个与问题对应的母函数;
(2)已知,其中.现有一序列的母函数,其中,证明:;
(3)在某班中的8位男同学和5位女同学中,组一个由偶数个男生和不少于两个女生的小组,令为从8位男同学中选取n位的所有组合个数,令为从5位女同学中选取n位的所有组合个数,分别写出和的与问题对应的母函数和,并求总的组合个数.
(1)假设有四个不同的小球,令为由它们组成的含有n个小球的所有组合个数,试写出的一个与问题对应的母函数;
(2)已知,其中.现有一序列的母函数,其中,证明:;
(3)在某班中的8位男同学和5位女同学中,组一个由偶数个男生和不少于两个女生的小组,令为从8位男同学中选取n位的所有组合个数,令为从5位女同学中选取n位的所有组合个数,分别写出和的与问题对应的母函数和,并求总的组合个数.
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解题方法
9 . 在空间直角坐标系中,一个质点从原点出发,每秒向轴正、负方向、轴正、负方向或轴正、负方向移动一个单位,且向六个方向移动的概率均相等.如在第1秒末,质点会等可能地出现在六点处.
(1)求该质点在第4秒末移动到点的概率;
(2)设该质点在第2秒末移动到点,记随机变量,求的均值;
(3)设该质点在第秒末回到原点的概率为,证明:.
(1)求该质点在第4秒末移动到点的概率;
(2)设该质点在第2秒末移动到点,记随机变量,求的均值;
(3)设该质点在第秒末回到原点的概率为,证明:.
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10 . 在的展开式中,把,,,,叫做三项式系数.
(1)当时,写出三项式系数,,的值;
(2)类比二项式系数性质,探究,,,的等量关系,并给出证明;
(3)求的值.
(1)当时,写出三项式系数,,的值;
(2)类比二项式系数性质,探究,,,的等量关系,并给出证明;
(3)求的值.
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