1 . 记
为数列
的前
项和，已知
．
(1)求证：数列是等差数列；
(2)若
，求证：
．
为数列的前项和，已知．(1)求证：数列
是等差数列；(2)若
，求证：．
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2 . 已知数列满足
，
，令
，设数列
前n项和为．
(1)求证：数列为等差数列；
(2)若存在
，使不等式
成立，求实数
的取值范围；
(3)设正项数列
满足
，求证：
．
满足，，令，设数列前n项和为．(1)求证：数列
为等差数列；(2)若存在
，使不等式成立，求实数的取值范围；(3)设正项数列
满足，求证：．
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2022-07-21更新
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1594次组卷
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7卷引用：四川省眉山市2021-2022学年高一下学期期末数学（理）试题
四川省眉山市2021-2022学年高一下学期期末数学（理）试题广东省广东实验中学2023届高三上学期第一次段考数学试题（已下线）4.2.3 等差数列的前n项和-2022-2023学年高二数学《基础·重点·难点 》全面题型高分突破（苏教版2019选择性必修第一册）（已下线）4.2.2.2 等差数列的前n项和的性质及应用（练习）-2022-2023学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第二册）（已下线）专题15 数列不等式的证明 微点6 数列不等式的证明综合训练（已下线）数列与不等式（已下线）4.1 等差数列（第2课时）(十三大题型)(分层练习)-2023-2024学年高二数学同步精品课堂（沪教版2020选择性必修第一册）
3 . 已知函数
.证明：
(1)当
，不等式
恒成立；
(2)对于任意正整数，不等式
恒成立（其中
为自然常数）
.证明：(1)当
，不等式恒成立；(2)对于任意正整数
，不等式恒成立（其中为自然常数）
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名校
4 . 英国数学家泰勒发现了如下公式：
，其中
，此公式有广泛的用途，例如利用公式得到一些不等式：当
时，
，
.
(1)证明：当时，
；
(2)设
，若区间
满足当
定义域为时，值域也为，则称为的“和谐区间”.
（i）
时，是否存在“和谐区间”？若存在，求出的所有“和谐区间”，若不存在，请说明理由；
（ii）
时，是否存在“和谐区间”？若存在，求出的所有“和谐区间”，若不存在，请说明理由.
，其中，此公式有广泛的用途，例如利用公式得到一些不等式：当时，，.(1)证明：当
时，；(2)设
，若区间满足当定义域为时，值域也为，则称为的“和谐区间”.（i）
时，是否存在“和谐区间”？若存在，求出的所有“和谐区间”，若不存在，请说明理由；（ii）
时，是否存在“和谐区间”？若存在，求出的所有“和谐区间”，若不存在，请说明理由.
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2022-02-22更新
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1537次组卷
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5卷引用：福建省福州第一中学2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题
福建省福州第一中学2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题（已下线）专题09 导数压轴解答题（证明类）-12024届高三新改革适应性模拟训练数学试卷七（九省联考题型）辽宁省实验中学2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试题（已下线）专题11 利用泰勒展开式证明不等式【练】
解题方法
5 . 已知数列为正项等比数列，满足
，
，数列满足
．
(1)求数列，的通项公式；
(2)若数列的前n项和为，数列满足
，证明：数列的前n项和
．
为正项等比数列，满足，，数列满足．(1)求数列
，的通项公式；(2)若数列
的前n项和为，数列满足，证明：数列的前n项和．
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2022-02-14更新
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263次组卷
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2卷引用：河南省开封市五县2021-2022学年高二上学期期末考试数学（理）试题
名校
6 . 已知数列满足
．
(1)求
；
(2)若
，且数列的前n项和为，求证：
．
满足．(1)求
；(2)若
，且数列的前n项和为，求证：．
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名校
7 . 已知函数
，若正数
，
，
满足
，则（ ）
，若正数，，满足，则（ ）A． |
B． |
C． |
D． |
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2022-01-26更新
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537次组卷
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3卷引用：浙江省金华十校2021-2022学年高一上学期期末联考数学试题
浙江省金华十校2021-2022学年高一上学期期末联考数学试题河南省开封市杞县杞县高中2021-2022学年高二下学期5月月考数学理科试题（已下线）专题06 数列在高考中的考法（难点，十一大题型+过关检测专训）-2023-2024学年高二数学《重难点题型·高分突破》（人教A版2019选择性必修第二册）
名校
8 . 设函数
.
(1)求函数的单调区间；
(2)若关于x的方程
有两个不相等的实数根
､
，当
时，证明：
.（注：
…是自然对数的底数）
.(1)求函数
的单调区间；(2)若关于x的方程
有两个不相等的实数根､，当时，证明：.（注：…是自然对数的底数）
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2022-01-21更新
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774次组卷
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2卷引用：浙江省宁波市慈溪市2021-2022学年高三上学期期末数学试题
名校
9 . 已知a，b，c都是正实数，设
，则下列判断正确的是（ ）
，则下列判断正确的是（ ）A． | B． |
C． | D． |
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2022-01-18更新
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404次组卷
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3卷引用：浙江省嘉兴市2021-2022学年高一上学期期末数学试题
名校
解题方法
10 . 设定义在实数集
上的函数,恒不为0,若存在不等于1的正常数
,对于任意实数
,等式
恒成立,则称函数
为
函数.
（1）若函数
为函数,求出的值；
（2）设
,其中
为自然对数的底数,函数
.
①比较
与
的大小；
②判断函数是否为函数,若是,请证明；若不是,试说明理由.
上的函数,恒不为0,若存在不等于1的正常数,对于任意实数,等式恒成立,则称函数为函数.（1）若函数
为函数,求出的值；（2）设
,其中为自然对数的底数,函数.①比较
与的大小；②判断函数
是否为函数,若是,请证明；若不是,试说明理由.
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2020-02-13更新
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1131次组卷
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7卷引用：广东省揭阳市揭东区2021-2022学年高一下学期期末数学试题
