1 . 已知定义在实数集上的偶函数和奇函数满足．
（1）求与的解析式；
（2）求证：在区间上单调递增；并求在区间的反函数；
（3）设（其中为常数），若对于恒成立，求的取值范围．

2 . 已知设函数.
（1）若，求极值；
（2）证明：当，时，函数在上存在零点.

3 . 设为正整数，区间（其中，）同时满足下列两个条件：
①对任意，存在使得；
②对任意，存在，使得（其中）．
（Ⅰ）判断能否等于或；（结论不需要证明）．
（Ⅱ）求的最小值；
（Ⅲ）研究是否存在最大值，若存在，求出的最大值；若不存在，说明理由．

4 . 已知是定义在上的函数，如果存在常数，对区间的任意划分：，和式恒成立，则称为上的“绝对差有界函数”。注：。
（1）证明函数在上是“绝对差有界函数”。
（2）证明函数不是上的“绝对差有界函数”。
（3）记集合存在常数，对任意的，有成立，证明集合中的任意函数为“绝对差有界函数”，并判断是否在集合中，如果在，请证明并求的最小值；如果不在，请说明理由。

5 . 定义函数(为定义域)图像上的点到坐标原点的距离为函数的的模.若模存在最大值，则称之为函数的长距；若模存在最小值，则称之为函数的短距.
(1)分别判断函数与是否存在长距与短距，若存在，请求出;
(2)求证：指数函数的短距小于1;
(3)对于任意是否存在实数，使得函数的短距不小于2且长距不大于4.若存在，请求出的取值范围；不存在，则说明理由？

6 . 定义：对于函数，若存在非零常数，使函数对于定义域内的任意实数，都有，则称函数是广义周期函数，其中称为函数的广义周期，称为周距．
（1）证明函数是以2为广义周期的广义周期函数，并求出它的相应周距的值；
（2）试求一个函数，使（为常数，）为广义周期函数，并求出它的一个广义周期和周距；
（3）设函数是周期的周期函数，当函数在上的值域为时，求在上的最大值和最小值．

7 . 已知函数，．
（Ⅰ）当时，求函数的最小值；
（Ⅱ）当时，讨论函数的单调性；
（Ⅲ）求证：当时，对任意的，且，有．