1 . 用向量的方法证明在等腰三角形ABC中，，点M为边BC的中点，求证：．

3 . 已知平面向量、、满足条件，．
（1）求证：是正三角形；
（2）试判断直线与直线的位置关系，并证明你的判断．

4 . 在中，若，．
(1)若P、Q是线段BC的三等分点，求证：；
(2)若P、Q、S是线段BC的四等分点，求证：；
(3)如果、、、…、是线段BC的等分点，你能得到什么结论？不必证明．（已知）

6 . 数学探究：用向量法研究三角形的性质．向量集数与形于一身，每一种向量运算都有相应的几何意义．向量运算与几何图形性质的内在联系，使我们自然想到：利用向量运算研究几何图形的性质，是否会更加方便、便捷呢？在数学研究中，常常用新的工具、新的方法对已研究过的对象进行再研究，这不仅可以站在新的高度审视研究对象，而且还可以有所发现．三角形是几何中最简单的封闭图形，但它是最重要的基本几何图形之一．三角形的性质非常丰富，是联系各种几何图形的纽带．在平面几何中，我们已经研究过三角形的一些基本性质，但对三角形的认识还不够深入，例如对三角形的外心、中线、重心、角平分线、内心、高、垂心等只有初步认识．因此，以向量为工具对三角形进行再研究是非常有意义的．

（1）①叙述余弦定理，并用向量的方法证明余弦定理；②直接写出余弦定理的向量表示（用，表示）．
（2）中，分别是的中点，O是重心，证明：对任意一点P，向量与共线．
（3）我们知道，三角形的三条中线交于一点，这一点就是三角形的重心，请你从下面两个问题中任选一个并解答（注：如果选择两个，则按第一个解答计分）①用向量方法证明：三角形的三条高线交于一点．如图①所示，中，设边上的高交于点H，求证：边上的高过点H；②用向量方法证明：三角形的三边的垂直平分线交于一点．如图②所示，的三边的中点分别为和边上的垂直平分线交于点O，求证：边上的垂直平分线过点O．

7 . 设、是两个不共线的向量，如果，，.
(1)求证：、、三点共线；
(2)试确定的值，使和共线；
(3)若、为单位向量，且、夹角的正弦值为，求的模.

8 . 已知是非零向量，当的模取最小值时，求证：．

9 . 设是不共线的两个非零向量．
(1)若，求证：三点共线；
(2)若与共线，求实数k的值．

10 . 如图，在中，已知，，，，分别为，上的两点，，，相交于点．

   

(1)求的值；
(2)求证：．