1 . 已知，，.
(1)若与垂直，求实数的值；
(2)若与方向相反，求实数的值.

2 . 在平面直角坐标系中，、，设点、、、…、是线段的等分点，其中为正整数且．

(1)当时，试用、表示、；
(2)当时，求的值；
(3)当时，求（，，，）的最小值．

3 . 已知是单位向量，，若向量满足，求的取值范围.

4 . 已知外接圆的圆心为，半径为2，且，求：向量在上的投影向量的模.

5 . 已知平面向量，满足，，且.
(1)求.
(2)当实数为何值时，.

6 . 已知平面上不共线的三点，且，是的中点.
(1)若，求的余弦值；
(2)若是线段上任意一点，且，求的最小值；
(3)若是内一点，且，求的最小值.

7 . 个有次序的实数，，，所组成的有序数组，，，称为一个维向量，其中，2，，称为该向量的第个分量．特别地，对一个维向量，若，，，称为维信号向量．设，，则和的内积定义为，且．
(1)直接写出4个两两垂直的4维信号向量．
(2)证明：不存在6个两两垂直的6维信号向量．
(3)已知个两两垂直的2024维信号向量，，，满足它们的前个分量都是相同的，求证：．

8 . 已知为坐标原点，向量，，，若，，三点共线，且，求实数，的值．

9 . 将所有平面向量组成的集合记作．如果对于向量，存在唯一的向量与之对应，其中坐标由确定，则把这种对应关系记为或者，简记为．例如就是一种对应关系．若在的条件下有最大值，则称此最大值为对应关系的模，并把的模记作；若存在非零向量及实数使得，则称为的一个特征值．
(1)如果，求；
(2)如果，计算的特征值，并求相应的；
(3)若，要使有唯一的特征值，实数应满足什么条件？试找出一个对应关系，同时满足以下两个条件：①有唯一的特征值，②，并验证满足这两个条件．

10 . 已知，满足，，，求.