1 . （1）证明：一元二次方程有一个正实数根和一个负实数根的充要条件是；
（2）已知，，，求证：.

2 . 选用恰当的证明方法，证明下列不等式.
(1)已知，求证：
(2)已知a，b，c为正数，且满足.证明：；

3 . 已知数列满足，.
(1)求证数列是等差数列，并求数列的通项公式；
(2)令，数列的前项和为，证明：对于任意的，都有.

4 . 已知数列，，，其中.
(1)设，证明：数列是等差数列，并求的通项公式；
(2)设，为数列的前项和，求证：.

5 . 已知数列{a_n}满足a₁a₂…a_n＝1a_n．
（1）求证数列{}是等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）设T_n＝a₁a₂……a_n，b_n＝a_n²T_n²，证明：b₁+b₂+…+b_n＜．

6 . （1）若且，求证：；
（2）若为正实数，且，证明：.

7 . 已知函数，，数列是各项均不为0的等差数列，点在函数的图像上，数列满足，，且（），
（1）求数列的通项公式，并证明数列是等比数列；
（2）若数列满足，求证：．

9 . 证明下列不等式
（1）若bc-ad≥0，bd＞0，求证：
（2）已知a＞0，b＞0，求证：

10 . 设集合由满足下列两个条件的数列构成：①；②存在实数，使为正整数）
（Ⅰ）在只有5项的有限数列、中，其中，，，，，，，，，，试判断数列、是否为集合中的元素；
（Ⅱ）设是等差数列，是其前项和，，，证明数列，并写出的取值范围；
（Ⅲ）设数列，对于满足条件的的最小值，都有求证：数列单调递增．