1 . 设各项均为整数的无穷数列满足，且对所有，均成立.
（1）求的所有可能值；
（2）若数列使得无穷数列是公差为1的等差数列，求数列的通项公式；
（3）求证：存在满足条件的数列，使得在该数列中有无穷多项为2021.

2 . 若数列满足(，且为实常数)，，则称数列为数列.
（1）若数列的前三项依次为，，，且为数列，求实数的取值范围；
（2）已知是公比为的等比数列，且，记.若存在数列为数列，使得成立，求实数的取值范围；
（3）记无穷等差数列的首项为，公差为，证明：“”是“为数列”的充要条件.

3 . 已知是无穷数列，，且对于中任意两项，在中都存在一项，使得.
（1）若，求；
（2）若，求证：数列中有无穷多项为；
（3）若，求数列的通项公式.

4 . 在非直角三角形ABC中，角的对边分别为，
（1）若，求角B的最大值；
（2）若，
（i）证明：；
（可能运用的公式有）
（ii）是否存在函数，使得对于一切满足条件的m，代数式恒为定值？若存在，请给出一个满足条件的，并证明之；若不存在，请给出一个理由.

5 . 已知数列满足．
（1）求数列的通项；
（2）设，若，求证：．

6 . 已知，为两非零有理数列（即对任意的，，均为有理数），为一无理数列（即对任意的，为无理数）.
（1）已知，并且对任意的恒成立，试求的通项公式.
（2）若为有理数列，试证明：对任意的，恒成立的充要条件为.
（3）已知，，对任意的，恒成立，试计算.

7 . 已知函数，满足：①对任意，都有；
②对任意都有．
（1）试证明：为上的单调增函数；
（2）求；
（3）令，试证明：

8 . 对于数列、、，若对任意的恒成立，则称数列、、具有性质.设；
（1）证明：数列、、具有性质的一个充分条件为：；
（2）若，、、满足（1）的充分条件，求；
（3）若、、的每一项均为有理数，但每一项均为无理数，试给出数列、、具有性质的充要条件.若在此条件下令，试探究数列的一些性质（如单调性，极限，的最大项等）.

9 . 已知数列的通项公式，.设，，...，（其中，）成等差数列.
（1）若.
①当，，为连续正整数时，求的值；
②当时，求证：为定值；
（2）求的最大值.

10 . 设数列：A：a₁，a₂，…，a_n，B：b₁，b₂，…，b_n.已知a_i，b_j∈{0，1}（i=1，2，…，n；j=1，2，…，n），定义n×n数表，其中x_ij.
（1）若A：1，1，1，0，B：0，1，0，0，写出X（A，B）；
（2）若A，B是不同的数列，求证：n×n数表X（A，B）满足“x_ij=x_ji（i=1，2，…，n；j=1，2，…，n；ij）”的充分必要条件为“a_k+b_k=1（k=1，2，…，n）”；
（3）若数列A与B中的1共有n个，求证：n×n数表X（A，B）中1的个数不大于.