1 . 已知数列满足.
(1)证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前项和.

2 . 数列满足.
(1)求的值；
(2)设，证明是等差数列.

3 . 记为数列的前n项和，已知，是公差为1的等差数列.
(1)求的通项公式；
(2)证明：.

4 . 已知各项均为正数的数列的首项，其前项和为，从①；②，；③中任选一个条件作为已知，并解答下列问题.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，设数列的前项和，求证：.
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）.

5 . 已知数列有递推关系，，记，若数列的递推式形如（且），也即分子中不再含有常数项.
(1)求实数的值；
(2)证明：为等比数列，并求其首项和公比.

6 . 正项数列的前n项和为，已知．
(1)求证：数列为等差数列，并求出，；
(2)若，求数列的前2023项和．

7 . 在正项数列中，，．
(1)求；
(2)证明：．

8 . 已知数列的每一项都是正数，，．记数列的前项和为，，数列的前项和为，数列的前项和为．
(1)求、；
(2)直接写出与的大小关系（不要求证明）．

9 . 中，内角、、的对边分别为、、，．
(1)若，．求证：；
(2)若为边的中点，且的面积为，求长的最小值．

10 . 已知数列的前项和为，且
(1)求，并证明数列是等差数列：
(2)若，求正整数的所有取值.