1 . 已知数列的前项和为，且是与的等差中项.数列中，，点在直线上.
（1）求和的值；
（2）求数列、的通项公式；
（3）设，求数列的前项和.

2 . 如图，在中，,，点边上，，，为垂足，

（1）若的面积为，求的长；
（2）若，求角的大小.

3 . 已知等差数列和等比数列，其中的公差不为0．设是数列的前n项和．若，，是数列的前3项，且．
（1）求数列和的通项公式；
（2）若数列为等差数列，求实数t；
（3）构造数列，，，，，，，，，…，，，，…，，…．若该数列前n项和，求n的值．

4 . 已知为数列的前n项和，，
（1）求的通项公式；
（2）若数列，求数列的前n项和；
（3）若数列满足（为非零常数），确定的取值范围，使时，都有．

5 . 若数列是公差小于零的等差数列，数列是公比大于零的等比数列，且，，，．
（1）求数列和的通项公式；
（2）设数列的前n项和为，求的最大值．

6 . 已知某工厂要设计一个部件（如图阴影部分所示），要求从圆形铁片上进行裁剪，部件由三个全等的矩形和一个等边三角形构成.设矩形的两边长分别为，（单位：），要求，部件的面积是

（1）求关于的函数解析式，并求出定义域；
（2）为了节省材料，请问取何值时，所用到的圆形铁片面积最小，并求出最小值.

7 . 已知、、分别为三个内角、、的对边，且.
（1）求；
（2）若，是中点，，求的面积.

8 . 已知数列的首项为1，为数列的前n项和，，其中，
（1）若，，成等差数列，求数列的通项公式；
（2）设双曲线的离心率为，且，判断并证明：与的大小关系.

9 . 设数列的各项均为正数，的前n项和，
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列，，（），的前n项和为，若对于恒成立，求λ的范围.

10 . 数列分别满足：，其中，其中，设数列前n项和分别为.
（1）若数列为递增数列，求数列的通项公式；
（2）若数列满足：存在唯一的正整数k（），使得，则称为“k坠点数列”
（Ⅰ）若数列为“6坠点数列"，求；
（Ⅱ）若数列为“5坠点数列”，是否存在“p坠点数列”，使得，若存在，求正整数m的最大值；若不存在，说明理由.