1 . 已知，，求的最小值.
解法如下：，
当且仅当，即，时取到等号，
则的最小值为.
应用上述解法，求解下列问题：
（1）已知，，求的最小值；
（2）已知，求的最小值；
（3）已知正数，满足.求证：.

2 . 函数满足，当时，恒成立，又满足：,，设.
（1）在内求实数，使得；
（2）证明：数列是等比数列，并求的表达式以及的值；
（3）是否存在正整数，使得对任意，都有成立，若存在，求出的最小值，若不存在，请说明理由.

3 . 在平面直角坐标系中，函数在第一象限内的图像如图所示，试做如下操作，把轴上的区间等分成个小区间，在每一个小区间上作一个小矩形，使矩形的右端点落在函数的图像上.若用，表示第个矩形的面积，表示这个矩形的面积总和.

（Ⅰ）求的表达式；
（Ⅱ）请用数学归纳法证明等式：；
（Ⅲ）求的值，并说明的几何意义.

4 . 设数列的前项和，已知，.
（1）求证:数列为等差数列，并求出其通项公式；
（2）设，又对一切恒成立，求实数的取值范围；
（3）已知为正整数且，数列共有项，设，又，求的所有可能取值.

5 . 已知在平面直角坐标系中，，（），其中数列、都是递增数列.
（1）若，，判断直线与是否平行；
（2）若数列、都是正项等差数列，它们的公差分别为、，设四边形的面积为（），求证：也是等差数列；
（3）若，（），，记直线的斜率为，数列前8项依次递减，求满足条件的数列的个数.

6 . 已知数列的前项和为，且，（）.
（1）计算，，，，并求数列的通项公式；
（2）若数列满足，求证：数列是等比数列；
（3）由数列的项组成一个新数列：，，，，，设为数列的前项和，试求的值.

7 . 已知函数（为常数，且），且数列是首项为，公差为的等差数列．
（1）求证：数列是等比数列；
（2）若，当时，求数列的前项和的最小值；
（3）若，问是否存在实数，使得是递增数列？若存在，求出的范围；若不存在，说明理由．

8 . 无穷正实数数列具有以下性质
（1）求证：对具有上述性质的任一数列，总能找到一个正整数n使下面不等式恒成立
（2）寻一个满足上述条件的数列，使下面不等式对任一正整数n均成立

9 . 抛物线的准线与轴交于点，过点作直线交抛物线于，两点.
（1）求直线的斜率的取值范围；
（2）若线段的垂直平分线交轴于，求证：；
（3）若直线的斜率依次为，，，…，，…，线段的垂直平分线与轴的交点依次为，，，…，，…，求.

10 . 已知一非零向量列满足：，.
（1）证明：是等比数列；
（2）设是，的夹角，设，，，求；
（3）设，问数列中是否存在最小项？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由.