1 . 设函数，.
（1）若函数在点处的切线方程为，求实数，的值；
（2）在（1）的条件下，当时，求证：；
（3）证明：对于任意正整数，不等式.

2 . 给定椭圆，称圆心在原点，半径为的圆是椭圆的“准圆”.若椭圆的一个焦点为，其短轴上的一个端点到的距离为.

（1）求椭圆的方程和其“准圆”方程；
（2）点是椭圆的“准圆”上的动点，过点作椭圆的切线交“准圆”于点.
①当点为“准圆”与轴正半轴的交点时，求直线的方程并证明；
②求证：线段的长为定值.

3 . 已知定义在上的函数．
(1)若为单调递增函数，求实数的取值范围；
(2)当时，证明：．

4 . 已知函数
(1)当时，求函数的单调区间;
(2)当时，试判断函数零点的个数，并加以证明.

5 . 已知抛物线上有一点，为抛物线的焦点，，且.
(1)求抛物线的方程；
(2)过点向圆（点在圆外）引两条切线，交抛物线于另外两点，求证：直线过定点.

6 . 已知函数是自然对数的底数.
(1)若，证明：；
(2)若关于的方程有两个不相等的实根，求的取值范围；
(3)若为整数，且当时，不等式恒成立，求的最大值.

8 . 已知函数．
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)当时，函数的图象与轴交于，两点，且点在右侧．若函数在点处的切线为，求证：当时，．

9 . 已知函数．
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)当时，函数的图象与轴交于，两点，且点在右侧．
（ⅰ）若函数在点处的切线为，求证：当时，；
（ⅱ）若方程有两根，．求证：．

10 . 已知函数
(1)若函数在上是单调函数，求实数的取值范围；
(2)当时，为在上的零点，求证：.