1 . 已知函数．(为自然对数的底数)
(1)若曲线在点处的切线方程；
(2)证明：当时，．（参考数据：，）

2 . 已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)证明：当时，.

3 . 已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)若（为的导函数），方程有两个不等实根、，求证：．

4 . 已知函数．
(1)求的零点个数；
(2)若函数有两个不同的极值点，．证明：．

5 . 已知函数.
(1)求函数的最小值；
(2)证明：函数仅有一个零点.

6 . 如图，椭圆经过点，且离心率为．

（1）求椭圆E的方程；
（2）若经过点，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q（均异于点A），证明：直线AP与AQ的斜率之和为定值．

7 . 已知圆，动圆过点且与圆相切，记动圆圆心的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2），是曲线上的两个动点，且，记中点为，，证明：为定值.

8 . 已知椭圆C：的离心率为，且过点．
（1）求的方程：
（2）点，在上，且，，为垂足．证明：存在定点，使得为定值．

9 . 设椭圆：的左、右焦点分别为，，下顶点为，椭圆的离心率是，的面积是.
（1）求椭圆的标准方程.
（2）直线与椭圆交于，两点（异于点），若直线与直线的斜率之和为1，证明：直线恒过定点，并求出该定点的坐标.

10 . 已知函数.
（1）若曲线与直线相切，求实数的值；
（2）若函数有两个零点，，证明.