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1 . 已知函数.(其中 为自然对数的底数)
(1)当时,求函数在 处的切线方程;
(2)当时,若函数在上的最小值为,求实数的值;
(3)当时,证明:.
(1)当时,求函数在 处的切线方程;
(2)当时,若函数在上的最小值为,求实数的值;
(3)当时,证明:.
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2 . 已知函数,若函数 有 3 个极值点,则实数的取 值范围是_______ ; 若 ,则实数的取值范围是 _____
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3 . 已知函数.
(1)当时,求在处的切线方程;
(2)若函数存在单调递减区间,求实数a的取值范围;
(3)设是函数的两个极值点,证明:
(1)当时,求在处的切线方程;
(2)若函数存在单调递减区间,求实数a的取值范围;
(3)设是函数的两个极值点,证明:
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4 . 已知,,则下列结论正确的是( )
A.函数在上存在极大值 |
B.函数没有最值 |
C.若对任意,不等式恒成立,则实数的最大值为 |
D.若,则的最大值为 |
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5 . 拉格朗日中值定理是微积分学的基本定理之一,它与导数和函数的零点有关,其表达如下:若函数在区间连续,在区间上可导,则存在,使得,我们将称为函数在上的“中值点”.已知函数,,.
(1)求在上的中值点的个数;
(2)若对于区间内任意两个不相等的实数,,都有成立,求实数t的取值范围.
(3)当且时,证明:.
(1)求在上的中值点的个数;
(2)若对于区间内任意两个不相等的实数,,都有成立,求实数t的取值范围.
(3)当且时,证明:.
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6 . 设,函数.
(1)讨论函数的单调性;
(2)若时,函数有三个零点,其中,试比较与2的大小关系,并说明理由.
(1)讨论函数的单调性;
(2)若时,函数有三个零点,其中,试比较与2的大小关系,并说明理由.
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7 . 英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式:当在处的阶导数都存在时,.注:阶导数指对一个函数进行次求导,表示的2阶导数,即为的导数,表示的阶导数,为自然对数的底数,,该公式也称麦克劳林公式.设,根据以上信息,并结合高中所学的数学知识,解决如下问题:
(1)利用泰勒公式求的近似值;(精确到小数点后两位)
(2)设,证明:;
(3)证明:(为奇数).
(1)利用泰勒公式求的近似值;(精确到小数点后两位)
(2)设,证明:;
(3)证明:(为奇数).
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8 . 英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式:当在处n()阶导数都存在时,.注:表示的2阶导数,即为的导数,()表示的n阶导数,该公式也称麦克劳林公式.
(1)写出泰勒展开式(只需写出前4项);
(2)根据泰勒公式估算的值,精确到小数点后两位;
(3)证明:当时,.
(1)写出泰勒展开式(只需写出前4项);
(2)根据泰勒公式估算的值,精确到小数点后两位;
(3)证明:当时,.
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9 . 设点, 分别是椭圆:的左、右焦点,且椭圆C上的点到点的距离的最小值为 点M,N是椭圆C上位于x轴上方的两点,且向量 与向量 平行.
(1)求椭圆C的方程;
(2)当 时,求点N的坐标;
(3)当 时,求直线的方程.
(1)求椭圆C的方程;
(2)当 时,求点N的坐标;
(3)当 时,求直线的方程.
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10 . 已知函数(为常数),则下列结论正确的是( )
A.当时,在处的切线方程为 |
B.若有3个零点,则的取值范围为 |
C.当时,是的极大值点 |
D.当时,有唯一零点,且 |
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349次组卷
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2卷引用:山东省菏泽市定陶区第一中学2023-2024学年高二下学期5月月考数学试题