1 . 已知椭圆
(1)椭圆的左右顶点分别为，点为椭圆上异于的任意一点．证明：直线与直线的斜率乘积为定值；
(2)过点的动直线交椭圆于两点，在轴上是否存在定点，使以为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．

2 . 设，为实数，且，函数
(1)求函数的单调区间；
(2)若对任意，函数有两个不同的零点，求的取值范围；
(注：是自然对数的底数).

3 . 已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若有两个不相同的零点，设的导函数为.证明：.

4 . 已知函数 .
(1)求的单调区间；
(2)若有两个不同的零点，证明：.

5 . 已知函数（k为常数），函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)当，时，有且只有两个不相等的实数根，且；有且只有两个不相等的实数，，且．证明：．

7 . 已知函数有两个零点.
(1)求a的取值范围.
(2)记两个零点分别为x₁，x₂，证明：.

8 . 已知函数，，是自然对数的底数．
(1)求函数的最小值；
(2)若在上恒成立，求实数的值；
(3)求证：．

9 . 已知函数.
(1)若在上单调递增，求的取值范围；
(2)若使得在上恒成立，求实数的取值范围.