1 . 如图，抛物线是抛物线内一点，过点作两条斜率存在且互相垂直的动直线，设与抛物线相交于点与抛物线相交于点，，当恰好为线段的中点时，．

   

(1)求抛物线的方程；
(2)求的最小值．

2 . 已知函数．
(1)求函数在处的切线方程；
(2)求函数的单调区间和极值．

3 . 已知函数.
(1)当时，若有两个零点，求实数的取值范围；
(2)当时，若有两个极值点，求证:；
(3)若在定义域上单调递增，求的最小值.

4 . 已知函数.
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)若恒成立，求实数的取值范围.

5 . 已知.
(1)当时，求的单调区间；
(2)若有两个极值点，，证明：.

6 . 已知在椭圆：上，的左焦点在抛物线的准线上，为的左顶点，直线，分别与另交于，两点，直线，的斜率之积为.
(1)求的方程；
(2)求面积的最大值.

7 . 设曲线在点处的切线与坐标轴所围成的三角形面积为．
(1)当切线与直线垂直时，求实数的值；
(2)当时，求的最大值．

8 . 已知椭圆，过右焦点的直线交于，两点，过点与垂直的直线交于，两点，其中，在轴上方，，分别为，的中点．当轴时，，椭圆的离心率为．

(1)求椭圆的标准方程；
(2)证明：直线过定点，并求定点坐标；
(3)设为直线与直线的交点，求面积的最小值．

9 . 已知函数．
(1)当时，求的单调区间；
(2)若函数的值域为，求的取值范围．