1 . 已知函数，．
(1)若，求函数的极值；
(2)试讨论函数的单调性．

2 . 已知，．
(1)求曲线在点处的切线；
(2)若函数在区间上存在极值，求的取值范围；
(3)若，设，试判断函数在区间上的单调性，并说明理由．

3 . 已知椭圆的离心率为，且过点．圆的切线l与椭圆E相交于A，B两点．

(1)求椭圆E的方程；
(2)直线OA，OB的斜率存在为，，直线l的斜率存在为k，若，求直线l的方程；
(3)直线OA，OB与圆的另一个交点分别为C，D，求与的面积之和的取值范围．

4 . 已知，函数有两个零点，记为，．
(1)证明：．
(2)对于，若存在，使得，求证：．

5 . 已知椭圆的左右焦点分别为，以线段为直径的圆过C的上下顶点，点在C上，其中e为C的离心率.
(1)求椭圆C的方程和短轴长；
(2)点在C上，且在x轴的上方，满足，直线与直线的交点为P，求的面积.

6 . 已知函数，．
(1)若曲线在点处的切线垂直于直线，求的值；
(2)若，过点作曲线的切线，求此切线与坐标轴围成的三角形的面积．

7 . 已知函数，从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在且唯一确定.
(1)求的值；
(2)若不等式在区间内有解，求的取值范围.
条件①：；
条件②：的图象可由的图象平移得到；
条件③：在区间内无极值点，且.
注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.

8 . 已知椭圆E的两个顶点分别为，，焦点在x轴上，且椭圆E过点.
(1)求椭圆E的方程；
(2)设O为原点，不经过椭圆E的顶点的直线l与椭圆E交于两点，直线BP与直线OC交于点H，点M与点Q关于原点对称.
（i）求点H的坐标（用，表示）；
（ii）若A，H，M三点共线，求证：直线l经过定点.

9 . 已知函数（其中常数），，是函数的一个极值点.
(1)求的解析式；
(2)求在上的最值.