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1 . 18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的数学家泰勒(Brook Taylor)发现的泰勒公式(又称夌克劳林公式)有如下特殊形式:当在处的阶导数都存在时,.其中,表示的二阶导数,即为的导数,表示的阶导数.
(1)根据公式估计的值;(结果保留两位有效数字)
(2)由公式可得:,当时,请比较与的大小,并给出证明;
(3)已知,证明:.
(1)根据公式估计的值;(结果保留两位有效数字)
(2)由公式可得:,当时,请比较与的大小,并给出证明;
(3)已知,证明:.
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2 . 已知平面上到定点的距离与到定直线:的距离之比为常数的点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程;
(2)把曲线及直线都向左平移5个单位长度,得到曲线及直线,写出及的方程(只写出结果);
(3)若,是上的两点,且.直线交直线于点,求直线与直线所成锐角的余弦值.
(1)求曲线的方程;
(2)把曲线及直线都向左平移5个单位长度,得到曲线及直线,写出及的方程(只写出结果);
(3)若,是上的两点,且.直线交直线于点,求直线与直线所成锐角的余弦值.
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解题方法
3 . 已知函数.
(1)求函数的最小值;
(2)求函数在上的最小值;
(3)若不等式恒成立,求实数的取值范围.
(1)求函数的最小值;
(2)求函数在上的最小值;
(3)若不等式恒成立,求实数的取值范围.
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解题方法
4 . 已知为抛物线:的焦点,,,是上三个不同的点,直线,,分别与轴交于,,,其中的最小值为4.
(1)求的标准方程;
(2)的重心位于轴上,且,,的横坐标分别为,,,是否为定值?若是,请求出该定值;若不是,请说明理由.
(1)求的标准方程;
(2)的重心位于轴上,且,,的横坐标分别为,,,是否为定值?若是,请求出该定值;若不是,请说明理由.
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解题方法
5 . “对称性”是一个广义的概念,包含“几何对称性”、“置换对称性”等范畴,是数学之美的重要体现.假定以下各点均在第一象限,各函数的定义域均为.设点,,,规定,且对于运算“”,表示坐标为的点.若点U,V,W满足,则称V与U相似,记作V~U.若存在单调函数和,使得对于图像上任意一点T,均在图像上,则称为的镜像函数.
(1)若点,,且N~M,求的坐标;
(2)证明:若为的镜像函数,,则;
(3)已知函数,为的镜像函数.设R~S,且.证明:.
(1)若点,,且N~M,求的坐标;
(2)证明:若为的镜像函数,,则;
(3)已知函数,为的镜像函数.设R~S,且.证明:.
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6 . 帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.给定两个正整数,,函数在处的阶帕德近似定义为:,且满足:.(注:,为的导数)已知在处的阶帕德近似为.
(1)求实数的值;
(2)证明:当时,;
(3)设为实数,讨论方程的解的个数.
(1)求实数的值;
(2)证明:当时,;
(3)设为实数,讨论方程的解的个数.
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7 . 已知O为坐标原点,抛物线,过点的直线交抛物线于A,B两点,.
(1)求抛物线C的方程;
(2)若点,连接AD,BD,证明:;
(3)已知圆G以G为圆心,1为半径,过A作圆G的两条切线,与y轴分别交于点M,N且M,N位于x轴两侧,求面积的最小值.
(1)求抛物线C的方程;
(2)若点,连接AD,BD,证明:;
(3)已知圆G以G为圆心,1为半径,过A作圆G的两条切线,与y轴分别交于点M,N且M,N位于x轴两侧,求面积的最小值.
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8 . 已知动点M到点的距离与到直线的距离之比为.
(1)求动点M的轨迹C的方程;
(2)过点的直线与轨迹C交于P,Q两点,点P关于x轴对称的点为R,求面积的取值范围.
(1)求动点M的轨迹C的方程;
(2)过点的直线与轨迹C交于P,Q两点,点P关于x轴对称的点为R,求面积的取值范围.
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9 . 已知椭圆的离心率为,,分别为椭圆的左顶点和上顶点,为左焦点,且的面积为.(1)求椭圆的标准方程:
(2)设椭圆的右顶点为、是椭圆上不与顶点重合的动点.
(i)若点,点在椭圆上且位于轴下方,直线交轴于点,设和的面积分别为,若,求点的坐标:
(ii)若直线与直线交于点,直线交轴于点,求证:为定值,并求出此定值(其中、分别为直线和直线的斜率).
(2)设椭圆的右顶点为、是椭圆上不与顶点重合的动点.
(i)若点,点在椭圆上且位于轴下方,直线交轴于点,设和的面积分别为,若,求点的坐标:
(ii)若直线与直线交于点,直线交轴于点,求证:为定值,并求出此定值(其中、分别为直线和直线的斜率).
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10 . 已知椭圆C:短轴长为2,左、右焦点分别为,,过点的直线l与椭圆C交于M,N两点,其中M,N分别在x轴上方和下方,,,直线与直线MO交于点,直线与直线NO交于点.(1)若的坐标为,求椭圆C的方程;
(2)在(1)的条件下,过点并垂直于x轴的直线交C于点B,椭圆上不同的两点A,D满足,,成等差数列.求弦AD的中垂线的纵截距的取值范围;
(3)若,求实数a的取值范围.
(2)在(1)的条件下,过点并垂直于x轴的直线交C于点B,椭圆上不同的两点A,D满足,,成等差数列.求弦AD的中垂线的纵截距的取值范围;
(3)若,求实数a的取值范围.
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2024-04-07更新
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2054次组卷
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3卷引用:湖北省华中师范大学第一附属中学、湖南省湖南师范大学附属中学等三校2024届高三下学期4月模拟考试(二模)数学试卷