解题方法
1 . 对任意复数,定义.
(1)若,求相应的复数;
(2)若中的为常数,则令,对任意,是否一定有常数使得?这样的是否唯一?说明理由.
(3)计算,并建立它们之间的一个等式.由此发现一个一般的等式,并证明之.
(1)若,求相应的复数;
(2)若中的为常数,则令,对任意,是否一定有常数使得?这样的是否唯一?说明理由.
(3)计算,并建立它们之间的一个等式.由此发现一个一般的等式,并证明之.
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名校
解题方法
2 . 通过平面直角坐标系,我们可以用有序实数对表示向量.类似的,我们可以把有序复数对看作一个向量,记,则称为复向量.类比平面向量的相关运算法则,对于,,、、、、,我们有如下运算法则:
①;②;③;④.
(1)设,,求和.
(2)由平面向量的数量积满足的运算律,我们类比得到复向量的相关结论:①②.试判断这两个结论是否正确,并说明理由.
(3)若,集合,.对于任意的,求出满足条件的,并将此时的记为,证明对任意的,不等式恒成立.根据对上述问题的解答过程,试写出一个一般性的命题(不需要证明).
①;②;③;④.
(1)设,,求和.
(2)由平面向量的数量积满足的运算律,我们类比得到复向量的相关结论:①②.试判断这两个结论是否正确,并说明理由.
(3)若,集合,.对于任意的,求出满足条件的,并将此时的记为,证明对任意的,不等式恒成立.根据对上述问题的解答过程,试写出一个一般性的命题(不需要证明).
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2024-07-07更新
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213次组卷
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2卷引用:上海市南汇中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷
名校
3 . 著名的费马问题是法国数学家皮埃尔.德费马(1601—1665)于1643年提出的平面几何最值问题:“已知一个三角形,求作一点,使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”费马问题中的所求点称为费马点,已知对于每个给定的三角形,都存在唯一的费马点,当的三个内角均小于时,则使得的点即为费马点.当有一个内角大于或等于时,最大内角的顶点为费马点.试根据以上知识解决下面问题:
(1)若,求的最小值;
(2)在中,角所对应的边分别为,点为的费马点.
①若,且,求的值;
②若,求实数的最小值.
(1)若,求的最小值;
(2)在中,角所对应的边分别为,点为的费马点.
①若,且,求的值;
②若,求实数的最小值.
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解题方法
4 . 已知复数,且,则______ .
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2024-06-24更新
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464次组卷
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6卷引用:河南省南阳市2023-2024学年高一下学期5月阶段检测考试数学试题
河南省南阳市2023-2024学年高一下学期5月阶段检测考试数学试题贵州省遵义市2023-2024学年高一下学期6月月考数学试题河南省南阳市2023-2024学年高一下学期5月段考数学试卷湖南省部分学校2025届新高三联合教学质量检测数学试题(已下线)第03讲 复数(八大题型)(讲义)(已下线)第7题 双复数乘积的模长问题(压轴小题一题多解)
名校
5 . 代数基本定理:任何一个次复系数多项式方程至少有一个复根.由此可得如下推论:
推论一:任何一元次复系数多项式在复数集中可以分解为个一次因式的乘积;
推论二:一元次多项式方程有个复数根,最多有个不同的根.即一元一次方程最多有1个实根,一元二次方程最多有2个实根等.
推论三:若一个次方程有不少于个不同的根,则必有各项的系数均为0.
已知.请利用代数基本定理及其推论解决以下问题:
(1)求的复根;
(2)若,使得关于的方程至少有四个不同的实根,求的值;
(3)若的图像上有四个不同的点,以此为顶点构成菱形,设,,求代数式的值.
推论一:任何一元次复系数多项式在复数集中可以分解为个一次因式的乘积;
推论二:一元次多项式方程有个复数根,最多有个不同的根.即一元一次方程最多有1个实根,一元二次方程最多有2个实根等.
推论三:若一个次方程有不少于个不同的根,则必有各项的系数均为0.
已知.请利用代数基本定理及其推论解决以下问题:
(1)求的复根;
(2)若,使得关于的方程至少有四个不同的实根,求的值;
(3)若的图像上有四个不同的点,以此为顶点构成菱形,设,,求代数式的值.
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2024-06-13更新
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265次组卷
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5卷引用:重庆市荣昌仁义中学校2023-2024学年高一下学期6月月考数学试题
重庆市荣昌仁义中学校2023-2024学年高一下学期6月月考数学试题(已下线)第2套 全真模拟卷 (较难)【高一期末复习全真模拟】(已下线)专题6 以新定义为背景的相关问题【练】(高一期末压轴专项)(已下线)专题7 线性代数、抽象代数与数论背景的新定义压轴大题(二)【讲】湖南省长沙市周南中学2024-2025学年高二上学期入学自主检测数学试题
名校
解题方法
6 . 已知复数满足,(为虚数单位),是方程在复数范围内的两根,则下列结论正确的是( )
A.的最小值为 | B.的最小值为4 |
C.当时,则 | D.当时,则 |
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2024-06-07更新
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675次组卷
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7卷引用:湖北省襄阳第四中学2024届高三下学期五月高考适应性考试(二)数学试卷
湖北省襄阳第四中学2024届高三下学期五月高考适应性考试(二)数学试卷(已下线)专题16 3 个二级结论速解复数问题广东省部分学校2023-2024学年高二下学期联合教学质量检测数学试题(已下线)第03讲 复数(八大题型)(练习)(已下线)复数02-一轮复习考点专练(已下线)河南省鹤壁市淇滨区鹤壁市高中2025届高三上学期9月月考数学试题(已下线)压轴题07 直线的方程和圆的方程的5大题型-【常考压轴题】(人教B版2019选择性必修第一册)
名校
解题方法
7 . 现定义“维形态复数”:,其中为虚数单位,,.
(1)当时,证明:“2维形态复数”与“1维形态复数”之间存在平方关系;
(2)若“2维形态复数”与“3维形态复数”相等,求的值;
(3)若正整数,,满足,,证明:存在有理数,使得.
(1)当时,证明:“2维形态复数”与“1维形态复数”之间存在平方关系;
(2)若“2维形态复数”与“3维形态复数”相等,求的值;
(3)若正整数,,满足,,证明:存在有理数,使得.
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2024-05-11更新
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1064次组卷
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6卷引用:安徽省合肥市第一中学2023-2024学年高一下学期5月期中联考数学试题
安徽省合肥市第一中学2023-2024学年高一下学期5月期中联考数学试题广西南宁市第二中学2023-2024学年高一下学期5月月考数学试卷湖北省黄冈市浠水县第一中学2023-2024学年高一下学期期末质量检测数学试题湖南省三湘名校教育联盟联考2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题(已下线)高一下学期期末模拟卷02-题型分类归纳讲与练(人教A版2019必修第二册)(已下线)拔高点突破02 平面向量与复数背景下的新定义问题(六大题型)
名校
解题方法
8 . 复数是由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入,经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作,此概念逐渐为数学家所接受.形如的数称为复数,其中称为实部,称为虚部,i称为虚数单位,.当时,为实数;当且时,为纯虚数.其中,叫做复数的模.设,,,,,,如图,点,复数可用点表示,这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,轴叫做实轴,轴叫做虚轴.显然,实轴上的点都表示实数;除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数.按照这种表示方法,每一个复数,有复平面内唯一的一个点和它对应,反过来,复平面内的每一个点,有唯一的一个复数和它对应.一般地,任何一个复数都可以表示成的形式,即,其中为复数的模,叫做复数的辐角,我们规定范围内的辐角的值为辐角的主值,记作.叫做复数的三角形式.
(2)设复数,,其中,求;
(3)在中,已知、、为三个内角的对应边.借助平面直角坐标系及阅读材料中所给复数相关内容,证明:
①;
②,,.
注意:使用复数以外的方法证明不给分.
(1)设复数,,求、的三角形式;
(2)设复数,,其中,求;
(3)在中,已知、、为三个内角的对应边.借助平面直角坐标系及阅读材料中所给复数相关内容,证明:
①;
②,,.
注意:使用复数以外的方法证明不给分.
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2024-03-12更新
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710次组卷
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5卷引用:黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期开学考试数学试卷
黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期开学考试数学试卷重庆市缙云教育联盟2023-2024学年高一下学期3月月度质量检测数学试题(已下线)模块五 专题六 全真拔高模拟2(已下线)第七章:复数(新题型)-同步精品课堂(人教A版2019必修第二册)湖北省黄冈市浠水县第一中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷
名校
9 . 下列四个命题正确的是( )
A.若,则的最大值为3 |
B.若复数满足,则 |
C.若,则点的轨迹经过的重心 |
D.在中,为所在平面内一点,且,则 |
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2023-10-15更新
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1998次组卷
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8卷引用:黑龙江省佳木斯市第一中学2023-2024学年高三上学期第三次调研考试数学试题
黑龙江省佳木斯市第一中学2023-2024学年高三上学期第三次调研考试数学试题(已下线)湖南省长沙市四县区2024届高三下学期3月调研考试数学试题变式题6-10(已下线)专题07 复数综合题归类(2) -期末考点大串讲(苏教版(2019))江西省上高二中2024届高三适应性考试数学试卷广东省广州市真光中学2023-2023学年高一下学期月考数学试题广东省汕尾市部分学校2023-2024学年高一下学期3月月考数学试卷河北省衡水市第二中学2024届高三高考模拟一数学试题安徽省安庆市怀宁县新安中学2023-2024学年高一下学期期末质检考试数学试题
名校
解题方法
10 . 已知复数z,,,是z的共轭复数,则下列说法正确的是( )
A. | B.若,则 |
C. | D.若,则的最小值为1 |
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2023-08-09更新
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2233次组卷
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8卷引用:广东省云浮市黄岗实验中学2022-2023学年高一下学期5月月考数学试题
广东省云浮市黄岗实验中学2022-2023学年高一下学期5月月考数学试题江苏省南京市六校联合体2022-2023学年高一下学期第二次联合调研(5月)数学试题广东省河源中学2024届高三上学期一调数学试题河北省石家庄市部分名校2024届高三上学期一调数学试题(已下线)江苏省南京市六校联合体2023-2024学年高三上学期11月期中数学试题变式题6-10(已下线)高一下学期第一次月考数学试卷(提高篇)-举一反三系列江苏省镇江市实验高级中学2023-2024学年高一下学期5月月考数学试卷(已下线)暑假作业09 复数综合-【暑假分层作业】(人教A版2019必修第二册)