2 . 如图，，为圆柱的母线，是底面圆的直径，，分别是，的中点，平面.

(1)证明：平面；
(2)若，求平面与平面的夹角余弦值．

3 . 如图（1）所示，在平面四边形中，是边长为2的等边三角形，，为边的中点，将沿折成直二面角，得到如图（2）所示的四棱锥．

(1)若为棱的中点，证明：平面；
(2)求二面角的正弦值．

4 . 已知椭圆 的短轴长为，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的一点，且的周长为.
(1)求椭圆的方程；
(2)过作垂直于轴的直线与椭圆交于 两点（点在第一象限），是椭圆上位于直线两侧的动点，始终保持，求证：直线的斜率为定值.

5 . 如图，已知四边形为等腰梯形，为以为直径的半圆弧上一点，平面平面，为的中点，为的中点，，．

(1)求证：平面；
(2)求平面与平面的夹角的余弦值．

6 . 已知抛物线的焦点为各顶点均在上，且．
(1)证明：是的重心；
(2)能否是等边三角形？并说明理由；
(3)若均在第一象限，且直线的斜率为，求的面积．

7 . 如图，在四棱锥中，平面平面，，四边形为正方形，为等边三角形，点在上，，点为线段的中点，点O为三角形的重心．
   
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．

8 . 如图，已知多面体的底面是边长为2的正方形，底面，，且．

(1)证明：平面；
(2)求四棱锥的体积；
(3)求平面与平面所成角的余弦值．

9 . 已知双曲线的渐近线方程为，的半焦距为，且．
(1)求的标准方程．
(2)若为上的一点，且为圆外一点，过作圆的两条切线（斜率都存在），与交于另一点与交于另一点，证明：
（ⅰ）的斜率之积为定值；
（ⅱ）存在定点，使得关于点对称．

10 . 如图，在多面体中，平面，，，，，，，为的中点．
   
(1)求证：平面；
(2)求点到平面的距离．