1 . 如图所示的五面体中，是正方形，是等腰梯形，且平面平面，为的中点，，．

（1）求证：平面平面；
（2）为线段的中点，在线段上，记，是线段上的动点． 当为何值时，三棱锥的体积为定值？证明此时二面角为定值，并求出其余弦值．

2 . 在如图所示的六面体中，四边形ABCD是边长为2的正方形，四边形ABEF是梯形，，平面平面ABEF，BE＝2AF=2，EF.

（1）在图中作出平面ABCD与平面DEF的交线，并写出作图步骤，但不要求证明；
（2）求证：平面DEF；
（3）求平面ABEF与平面ECD所成锐二面角的余弦值.

3 . 已知椭圆的方程为：，其焦点在轴上，离心率.
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）设动点满足，其中M，N是椭圆上的点，直线OM与ON的斜率之积为，求证：为定值.
（3）在（2）的条件下，问：是否存在两个定点，使得为定值？
若存在，给出证明；若不存在，请说明理由.

4 . 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．
已知椭圆：（），其焦距为，若（），则称椭圆为“黄金椭圆”．
（1）求证：在黄金椭圆：（）中，、、成等比数列．
（2）黄金椭圆：（）的右焦点为，为椭圆上的
任意一点．是否存在过点、的直线，使与轴的交点满足？若存在，求直线的斜率；若不存在，请说明理由．
（3）在黄金椭圆中有真命题：已知黄金椭圆：（）的左、右
焦点分别是、，以、、、为顶点的菱形的内切圆过焦点、．
试写出“黄金双曲线”的定义；对于上述命题，在黄金双曲线中写出相关的真命题，并加以证明．

5 . 如图，在四棱台中，底面是边长为2的正方形，.

   

(1)证明：平面；
(2)若，，求平面与平面夹角的余弦值.

6 . 在平行四边形中，，，.将沿翻折到的位置，使得.

   

(1)证明：平面；
(2)在线段上是否存在点，使得二面角的余弦值为?若存在，求出的值;若不存在，请说明理由.

7 . 已知椭圆C：的左、右焦点分别为是C上一点，.点分别为C的上、下顶点，直线：与C相交于两点，直线交于点P.
(1)求C的标准方程；
(2)证明点Р在定直线上，并求直线，围成的三角形面积的最小值.

8 . 如图，在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，为等边三角形，，，，.

(1)求证：；
(2)若，
①判断直线与直线的位置关系，并说明理由；
②求平面与平面的夹角.

9 . 如图，多面体中，和均为等边三角形，平面平面

(1)求证：;
(2)求平面ABD与平面PBC夹角的余弦值.

10 . 如图，在四棱柱中，底面为直角梯形，．

(1)证明：平面；
(2)若平面，求二面角的正弦值．