1 . 已知双曲线的方程为，虚轴长为2，点在上.
(1)求双曲线的方程；
(2)过原点的直线与交于两点，已知直线和直线的斜率存在，证明：直线和直线的斜率之积为定值；
(3)过点的直线交双曲线于两点，直线与轴的交点分别为，求证：的中点为定点.

2 . 已知双曲线的渐近线方程为的焦距为，且.
(1)求的标准方程；
(2)若为上的一点，且为圆外一点，过作圆的两条切线，（斜率都存在），与交于另一点与交于另一点，证明：
（i）的斜率之积为定值；
（ii）存在定点，使得关于点对称.

3 . 如图，在四棱锥中，底面，底面是矩形，.

(1)证明：平面平面；
(2)求平面与平面的夹角的余弦值.

4 . 如图，在三棱台中，，，，，，垂足为O，连接BO．

(1)证明：平面平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．

5 . 如图，抛物线为抛物线上四点，点在轴左侧，且，分别为线段和的中点．

(1)证明：直线与轴平行或重合．
(2)设圆，若为圆上的动点，设的面积为S，求S的最大值．

6 . 在直三棱柱中，点是的中点，是的中点，，.

(1)证明：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值.

7 . 如图，在四棱台中，为的中点，.

(1)证明：平面；
(2)若平面平面，，当四棱锥的体积最大时，求与平面夹角的正弦值.

8 . 如图，在多面体中，四边形为正方形，平面，，，，，是的中点，与交于点.

(1)证明：平面；
(2)求直线和平面所成角的大小.

9 . 已知椭圆的上、下顶点分别是，，点（异于，两点）在椭圆上，直线与的斜率之积为，椭圆的短轴长为．
(1)求的标准方程；
(2)已知，直线与椭圆的另一个交点为，且直线与相交于点，证明：点在定直线上．

10 . 如图，在三棱柱中，为的中点，平面平面．

(1)证明：平面平面．
(2)若，且，求二面角的余弦值．