1 . 如图，点在圆上运动且满足轴，垂足为点，点在线段上，且，动点的轨迹为．

(1)求曲线的方程；
(2)已知，过的动直线交曲线于两点（点在轴上方）分别为直线与轴的交点，是否存在实数使得？说明理由．

2 . 如图，已知为圆柱底面圆的直径，为下圆周上的动点，为圆柱母线．

(1)证明：平面平面；
(2)若点到平面的距离为，四棱锥的体积为，求平面与平面夹角的余弦值．

3 . 如图， 平面， ， ， ， ， .

(1)求证: 平面；
(2)求直线与平面所成角的余弦值
(3)若二面角的余弦值为 ，求线段的长.

4 . 已知椭圆.
(1)若点在椭圆C上，证明：直线与椭圆C相切；
(2)设曲线的切线l与椭圆C交于两点，且以为切点的椭圆C的切线交于M点，求面积的取值范围.

5 . 如图所示，在直四棱柱中，底面ABCD是菱形，，M，N分别为，AD的中点．

   

(1)证明：平面BDM．
(2)求平面BDM与平面夹角的余弦值．

6 . 如图所示，平行六面体中，.

(1)用向量表示向量，并求；
(2)求直线与直线所成角的余弦值.

7 . 已知椭圆的左、右顶点分别为，长轴长为4，离心率为，点C在椭圆E上且异于两点，分别为直线上的点．
(1)求椭圆E的方程；
(2)求的值；
(3)设直线与椭圆E的另一个交点为D，证明：直线过定点．

8 . 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，M为棱的中点．

(1)证明：平面；
(2)证明：；
(3)若，，求二面角的余弦值.

9 . 图，在四棱锥中，底面，底面为菱形，，为的中点.

   

(1)求证：平面；
(2)求平面与平面所成二面角的余弦值.

10 . 已知椭圆，过右焦点的直线交于，两点，过点与垂直的直线交于，两点，其中，在轴上方，，分别为，的中点．当轴时，，椭圆的离心率为．

(1)求椭圆的标准方程；
(2)证明：直线过定点，并求定点坐标；
(3)设为直线与直线的交点，求面积的最小值．