1 . 已知函数在处的切线经过原点.
(1)判断函数的单调性；
(2)求证：函数的图象与直线有且只有一个交点.

2 . 已知函数．
(1)若恒成立，求的取值范围；
(2)若有两个不同的零点，证明．

3 . 设函数.已知的图象的两条相邻对称轴间的距离为，且.
(1)若在区间上有最大值无最小值，求实数m的取值范围；
(2)设l为曲线在处的切线，证明：l与曲线有唯一的公共点.

5 . 设函数，.
(1)若，求函数的单调区间；
(2)若，试判断函数在区间内的极值点的个数，并说明理由；
(3)求证：对任意的正数，都存在实数，满足：对任意的，.

6 . 已知函数，．
(1)讨论的单调性；
(2)证明：当时，．

7 . 在数列中，若存在常数，使得恒成立，则称数列为“数列”．
(1)若，试判断数列是否为“数列”，请说明理由；
(2)若数列为“数列”，且，数列为等比数列，且，求数列的通项公式；
(3)若正项数列为“数列”，且，，证明：．

8 . 已知函数，其中．
(1)若，证明；
(2)讨论的极值点的个数．

9 . 已知函数，．
(1)当时，求函数的最小值；
(2)是否存在，且依次成等比数列，使得，，依次成等差数列？请证明；
(3)当时，函数有两个零点，是否存在的关系？若存在，请证明；若不存在，请写出正确的关系．

10 . 已知函数.
(1)当时，证明：；
(2)若在区间上有且只有一个极值点，求实数的取值范围.