1 . 固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线年，莱布尼茨等得出悬链线的方程为，其中为参数．当时，该表达式就是双曲余弦函数，记为，悬链线的原理常运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程．已知三角函数满足性质：①导数：；②二倍角公式：；③平方关系：．定义双曲正弦函数为．
(1)写出，具有的类似于题中①、②、③的一个性质，并证明该性质；
(2)任意，恒有成立，求实数的取值范围；
(3)正项数列满足，，是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

2 . 已知函数.
(1)证明：当时，恒成立；
(2)首项为的数列满足：当时，有，证明：.

3 . 已知函数.
(1)证明:，有；
(2)设，讨论的单调性.

4 . 已知函数．
(1)若在上单调递增，求实数a的取值范围；
(2)当时，证明：．

5 . 已知函数．
(1)若，求的最大值；
(2)若，证明：有两个零点．

6 . 已知函数(e为自然对数的底数)有两个零点．
（1）若，求在处的切线方程；
（2）若的两个零点分别为，证明：．

7 . 已知，且.
（1）当时，求证：恒成立；
（2）令，当时，无零点，求的取值范围.

8 . 已知函数，函数满足．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若有两个不同的零点、，证明：．

9 . 已知函数，．
（1）求在上的最小值；
（2）证明：．

10 . 已知函数．
（1）若，求函数的单调区间；
（2）证明当时，关于x的不等式恒成立；