1 . 如图所示数阵,第行共有个数,第m行的第1个数为,第2个数为,第个数为,规定:.
…… … … … … …
(1)试判断每一行的最后两个数的大小关系,并证明你的结论;
(2)求证:每一行的所有数之和等于下一行的最后一个数;
(3)从第1行起,每一行最后一个数依次构成数列,设数列的前n项和为是否存在正整数k,使得对任意正整数n,恒成立?如存在,请求出k的最大值,如不存在,请说明理由.
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(1)试判断每一行的最后两个数的大小关系,并证明你的结论;
(2)求证:每一行的所有数之和等于下一行的最后一个数;
(3)从第1行起,每一行最后一个数依次构成数列,设数列的前n项和为是否存在正整数k,使得对任意正整数n,恒成立?如存在,请求出k的最大值,如不存在,请说明理由.
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2 . (1)我们学过组合恒等式,实际上可以理解为,请你利用这个观点快速求解:.(计算结果用组合数表示)
(2)(i)求证:;
(ii)求值:.
(2)(i)求证:;
(ii)求值:.
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名校
3 . 已知函数,其中,.
(1)若n=8,,求的最大值;
(2)若,求;(用n表示)
(3)若,求证:.
(1)若n=8,,求的最大值;
(2)若,求;(用n表示)
(3)若,求证:.
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解题方法
4 . 某箱中有个除颜色之外均相同的球,已知.箱中1个球为白球,其余为黑球.现在该箱中进行一取球实验:每次从箱中等可能地取出一个球,若取出白球或取球次后结束实验,否则进行相应操作进行下一次取球.设实验结束时的取球次数为.
(1)若取出黑球后放回箱中,求的数学期望;
(2)若取出黑球后替换为白球放回箱中,求的最大值,并证明:.
(1)若取出黑球后放回箱中,求的数学期望;
(2)若取出黑球后替换为白球放回箱中,求的最大值,并证明:.
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5 . 已知 .
(1)若,求中含项的系数;
(2)证明:.
(1)若,求中含项的系数;
(2)证明:.
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解题方法
6 . 定义:对一个棱锥的各个顶点染色,若每一条棱的两个端点均不同色,则称之为“多彩棱锥”.若用()种颜色给某()棱锥染色,出现“多彩棱锥”的数量记作.
(1)当,时,试求的值;
(2)当,时,试求的值;
(3)结合前两问的解题思路,对任意的正整数()(),请写出的运算公式,并证明.
(1)当,时,试求的值;
(2)当,时,试求的值;
(3)结合前两问的解题思路,对任意的正整数()(),请写出的运算公式,并证明.
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7 . 组合数学研究的内容之一是计数,母函数是重要的计数工具之一.其定义如下:对于序列,定义为序列的母函数.母函数的计数方法与二项式定理的原理相似:假设有红、黄、蓝各一个小球,计算由它们组成的所有组合的个数,可考虑三步完成,即每个小球是否参与组合我们用即1代表小球不参与,x代表小球参与,根据分类加法计数原理,代表一个小球是否参与组合的两种情况,根据分步乘法计数原理,用代数式表示三个小球是否参与组合的情况,所以母函数为,例如其中中的系数3就是由两个小球构成的所有组合个数,而总的组合个数就是.
(1)假设有四个不同的小球,令为由它们组成的含有n个小球的所有组合个数,试写出的一个与问题对应的母函数;
(2)已知,其中.现有一序列的母函数,其中,证明:;
(3)在某班中的8位男同学和5位女同学中,组一个由偶数个男生和不少于两个女生的小组,令为从8位男同学中选取n位的所有组合个数,令为从5位女同学中选取n位的所有组合个数,分别写出和的与问题对应的母函数和,并求总的组合个数.
(1)假设有四个不同的小球,令为由它们组成的含有n个小球的所有组合个数,试写出的一个与问题对应的母函数;
(2)已知,其中.现有一序列的母函数,其中,证明:;
(3)在某班中的8位男同学和5位女同学中,组一个由偶数个男生和不少于两个女生的小组,令为从8位男同学中选取n位的所有组合个数,令为从5位女同学中选取n位的所有组合个数,分别写出和的与问题对应的母函数和,并求总的组合个数.
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8 . 对于数列,称为数列的一阶差分数列,其中.对正整数,称为数列的阶差分数列,其中已知数列的首项,且为的二阶差分数列.
(1)求数列的通项公式;
(2)设为数列的一阶差分数列,对,是否都有成立?并说明理由;(其中为组合数)
(3)对于(2)中的数列,令,其中.证明:.
(1)求数列的通项公式;
(2)设为数列的一阶差分数列,对,是否都有成立?并说明理由;(其中为组合数)
(3)对于(2)中的数列,令,其中.证明:.
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2024-05-09更新
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1132次组卷
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6卷引用:拔高点突破01 新情景、新定义下的数列问题(七大题型)
(已下线)拔高点突破01 新情景、新定义下的数列问题(七大题型)(已下线)专题3 数列中的新定义压轴大题(过关集训)(已下线)第一章 排列组合与二项式定理 专题五 二项式定理 微点4 二项式定理综合训练【培优版】吉林省长春市东北师范大学附属中学2024届高三下学期第五次模拟考试数学试题甘肃省兰州市西北师大附中2024届高三第五次诊断考试(三模)数学试题福建省泉州市永春第一中学2024届高三最后一卷数学试卷
名校
9 . 在计算机科学中,维数组是一种基础而重要的数据结构,它在各种编程语言中被广泛使用.对于维数组,,定义与的差为与之间的距离为.
(1)若维数组,证明:;
(2)证明:对任意的数组A,B,C,有;
(3)设集合中有个维数组,记中所有两元素间的距离的平均值为,证明:.
(1)若维数组,证明:;
(2)证明:对任意的数组A,B,C,有;
(3)设集合中有个维数组,记中所有两元素间的距离的平均值为,证明:.
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2024-04-16更新
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892次组卷
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3卷引用:压轴题08计数原理、二项式定理、概率统计压轴题6题型汇总
(已下线)压轴题08计数原理、二项式定理、概率统计压轴题6题型汇总山西省临汾市2024届高三第二次高考考前适应性训练数学试题河南省南阳市第一中学校2023-2024学年高二下学期第二次月考(6月)数学试题
10 . 我们称元有序实数组为维向量,为该向量的范数,已知维向量,其中,记范数为奇数的维向量的个数为,这个向量的范数之和为.
(1)求和的值;
(2)求的值;
(3)当为偶数时,证明:.
(1)求和的值;
(2)求的值;
(3)当为偶数时,证明:.
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