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解题方法
1 . 已知抛物线上一点的纵坐标为4,点到焦点的距离为5.过点做两条互相垂直的弦,设弦的中点分别为.
(2)过焦点作,且垂足为,
(ⅰ)求证直线过定点,并求定点坐标;
(ⅱ)求的最大值.
(1)求抛物线的方程;
(2)过焦点作,且垂足为,
(ⅰ)求证直线过定点,并求定点坐标;
(ⅱ)求的最大值.
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2 . 正三棱柱内切球(球与上下底面和侧面都相切)的半径是为棱上一点,若二面角为,则平面截内切球所得截面面积为__________ .
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3 . 已知函数,则下列结论正确的是( )
A.若,则在上递增 |
B.若为奇函数,则 |
C.若是的极值点,则 |
D.若和都是的零点,在上具有单调性,则的取值集合为 |
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4 . 已知,,则下面正确的是( )
A. | B. |
C. | D. |
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5 . 如图抛物线,过有两条直线与抛物线交于与抛物线交于,(1)若斜率为1,求;
(2)是否存在抛物线上定点,使得,若存在,求出点坐标并证明,若不存在,请说明理由;
(3)直线与直线相交于两点,证明:为中点.
(2)是否存在抛物线上定点,使得,若存在,求出点坐标并证明,若不存在,请说明理由;
(3)直线与直线相交于两点,证明:为中点.
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解题方法
6 . 任意一个复数z的代数形式都可写成复数三角形式,即,其中i为虚数单位,,.棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗(1667~1754)创立.设两个复数用三角函数形式表示为:,,则:.如果令,则能导出复数乘方公式:.请用以上知识解决以下问题.
(1)试将写成三角形式;
(2)试应用复数乘方公式推导三倍角公式:;;
(3)计算:的值.
(1)试将写成三角形式;
(2)试应用复数乘方公式推导三倍角公式:;;
(3)计算:的值.
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7 . 已知函数,下列说法正确的有( )
A.函数的极小值为 |
B.函数在点处的切线方程为 |
C. |
D.若曲线与曲线无交点,则的取值范围为 |
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解题方法
8 . 已知抛物线和的焦点分别为,动直线与交于两点,与交于两点,其中,且当过点时,,则下列说法中正确的是( )
A.的方程为 |
B.已知点,则的最小值为3 |
C. |
D.若,则与的面积相等 |
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9 . 某学校有甲、乙、丙三家餐厅,分布在生活区的南北两个区域,其中甲、乙餐厅在南区,丙餐厅在北区各餐厅菜品丰富多样,可以满足学生的不同口味和需求.
(1)现在对学生性别与在南北两个区域就餐的相关性进行分析,得到下表所示的抽样数据,依据的独立性检验,能否认为在不同区域就餐与学生性别有关联?
(2)张同学选择餐厅就餐时,如果前一天在甲餐厅,那么后一天去甲,乙餐厅的概率均为;如果前一天在乙餐厅,那么后一天去甲,丙餐厅的概率分别为,;如果前一天在丙餐厅,那么后一天去甲,乙餐厅的概率均为.张同学第1天就餐时选择甲,乙,丙餐厅的概率分别为,,.
(ⅰ)求第2天他去乙餐厅用餐的概率;
(ⅱ)求第()天他去甲餐厅用餐的概率.
附:,;
性别 | 就餐区域 | 合计 | |
南区 | 北区 | ||
男 | 33 | 10 | 43 |
女 | 38 | 7 | 45 |
合计 | 71 | 17 | 88 |
(2)张同学选择餐厅就餐时,如果前一天在甲餐厅,那么后一天去甲,乙餐厅的概率均为;如果前一天在乙餐厅,那么后一天去甲,丙餐厅的概率分别为,;如果前一天在丙餐厅,那么后一天去甲,乙餐厅的概率均为.张同学第1天就餐时选择甲,乙,丙餐厅的概率分别为,,.
0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
(ⅱ)求第()天他去甲餐厅用餐的概率.
附:,;
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解题方法
10 . 十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题:“已知一个三角形,求作一点,使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小.”它的答案是:“当三角形的三个角均小于时,所求的点为三角形的正等角中心,即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角;当三角形有一内角大于或等于时,所求点为三角形最大内角的顶点.”在费马问题中所求的点称为费马点. 试用以上知识解决下面问题:已知的内角所对的边分别为,且
(1)求;
(2)若,设点为的费马点,求;
(3)设点为的费马点,,求实数的最小值.
(1)求;
(2)若,设点为的费马点,求;
(3)设点为的费马点,,求实数的最小值.
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