1 . 已知函数，其中a为常数．
(1)若函数在上单调递增，求实数a的取值范围；
(2)若，设函数在上的极值点为，求证：．

2 . 英国数学家泰勒发现了如下公式：其中为自然对数的底数，．以上公式称为泰勒公式．设，根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题．
(1)证明：；
(2)设，证明：：
(3)设，证明：当时，的极小值点是0．

3 . 已知函数，其中.
(1)当时，求的极值；
(2)当，时，证明：.

4 . 已知函数的导函数为.
(1)证明：函数有且只有一个极值点；
(2)若恒成立，求实数的取值范围.

5 . 已知函数．
(1)讨论函数的极值点个数；
(2)当时，若实数满足，证明：．

6 . 已知函数（其中为实数）．
(1)若，证明：；
(2)探究在上的极值点个数．

7 . 已知函数，.
(1)讨论的极值；
(2)若 ，，求证：.

8 . 设函数，其中a为实数．
(1)当时，求的单调区间；
(2)当在定义域内有两个不同的极值点时，证明：．

9 . 已知函数．
(1)若，，求实数a的取值范围；
(2)设，是函数的两个极值点，证明：．

10 . 已知函数，若的最小值为0，
(1)求的值;
(2)若，证明:存在唯一的极大值点，且.