1 . 已知函数，其中a为正实数．
(1)若函数有极值点，求a的取值范围；
(2)当和的几何平均数为，算术平均数为．
①判断与和的几何平均数和算术平均数的大小关系，并加以证明；
②当时，证明：．

2 . 我们知道，函数与互为反函数．一般地，设A，B分别为函数的定义域和值域，如果由函数可解得唯一也是一个函数（即对任意一个，都有唯一的与之对应），那么就称函数是函数的反函数，记作．在中，y是自变量，x是y的函数．习惯上改写成的形式.反函数具有多种性质，如：①如果是的反函数，那么也是的反函数；②互为反函数的两个函数的图象关于直线对称；③一个函数与它的反函数在相应区间上的单调性是一致的．
(1)已知函数的图象在点处的切线倾斜角为60°，求其反函数的图象在时的切线方程；
(2)若函数，试求其反函数并判断单调性；
(3)在（2）的条件下，证明：当时，，．

3 . 已知函数．
(1)讨论函数的单调区间；
(2)当时，函数有两个零点，求的取值范围：
(3)在（2）的条件下，证明：

4 . 已知（e为自然对数的底数）
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求证：当时，恒成立；
(3)已知，如果当时，恒成立，求的最大值.

5 . 已知函数 ，．
(1)若函数在定义域上单调递增，求的取值范围；
(2)若函数有两个极值点．
（i）求的取值范围；
（ii）证明：．

6 . 已知曲线在处的切线过点．
(1)试求，满足的关系式；（用表示）
(2)讨论的单调性；
(3)证明：当时，．

7 . 已知函数，

(1)若函数，

①求的最小值；

②若，且，求证：；

(2)若函数，且有两个相异的零点，又，求实数的取值范围．

8 . 设函数．
(1)证明：；
(2)若函数有两个极值点．
①求实数的取值范围：
②证明：．