1 . 用向量方法证明：菱形的两条对角线互相垂直．

2 . 用向量的方法证明在等腰三角形ABC中，，点M为边BC的中点，求证：．

3 . 设点O是所在平面内一点，则下列说法正确的是（       ）

A．若，则O为的重心；

B．若，则O为的垂心；

C．若，则为等边三角形；

D．若，则△BOC与△ABC的面积之比为．

4 . 在四边形中，，则四边形的形状是______.

5 . 如图所示，AC为的一条直径，为圆周角.求证：.

   

6 . 如图，正方形的边长为是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点．

   

(1)求的余弦值．
(2)若点自点逆时针沿正方形的边运动到点，在这个过程中，是否存在这样的点，使得？若存在，求出的长度，若不存在，请说明理由．

7 . 设点D是所在平面内一点，则下列说法正确的有（       ）

A．若，则点D是边BC的中点

B．若，则直线AD经过的垂心

C．若，则点D在边BC的延长线上

D．若，且，则是面积的一半

8 . 如图所示，已知在正方形中，E，F分别是边，的中点，与交于点M.
   
(1)设，，用，表示，；
(2)猜想与的位置关系，写出你的猜想并用向量法证明你的猜想.

9 . 在中，分别为边上的点，且.设.

   

(1)用表示；
(2)用向量的方法证明：.

10 . 已知在中，点是边上靠近点的四等分点，点为中点，设与相交于点.

   

(1)请用、表示向量；
(2)设和的夹角为，若，且，求证：.