1 . 已知数列满足，且的前100项和
(1)求的首项；
(2)记，数列的前项和为，求证：.

2 . 已知数列的前项和，对于，都满足，且．
(1)求；
(2)若，求数列的前项和．

3 . “中国剩余定理”又称“孙子定理”，此定理讲的是关于整除的问题．现将1到2024这2024个数中被3除余1，且被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，其前项和为，则（       ）

A．2130

B．2734

C．2820

D．3019

4 . 已知数列，满足，且，数列满足．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．

5 . 已知数列的前项和为，，是公差为1的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)记，，求证：．

6 . 已知数列的前n项和为，且，，则使得成立的n的最小值为（       ）

A．32

B．33

C．44

D．45

7 . 已知各项均为正数的等比数列满足，数列的前项和，满足.
(1)求数列和的通项公式；
(2)若存在正整数，使得成立，求实数的取值范围..

8 . 已知正项数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，若数列满足，求证：．

9 . 某公司生产一种产品，第一年投入资金1000万元，出售产品后收入40万元，预计以后每年的投入资金是上一年的一半，出售产品所得收入比上一年多80万元．同时，当预计投入资金低于20万元时，就按20万元投入，且当年出售产品的收入与上一年相同．
(1)设第年的投入资金和收入金额分别为万元，万元，请求出、的通项公式；
(2)预计从第几年起该公司开始并持续盈利？请说明理由（盈利是指总收入大于总投入）．

10 . 从①，②，③前项和满足中任选一个，补充在下面的横线上，再解答.
已知数列的首项，且__________.
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.