1 . 定义：设是正整数，如果对任意正整数，当时，即有，那么称数列的前项可被数列的第项替换.已知数列的前项和是，数列是公差为1的等差数列.
（1）求数列的通项公式（用，表示）；
（2）已知，数列的前项和满足；
①求证：数列为等比数列，并求的通项公式；
②若数列的前可被数列的前项替换，且的最大值为8，求的取值范围.

2 . （1）已知数列满足：，且（为非零常数，），求数列的前项和；
（2）已知数列满足：
（ⅰ）对任意的；
（ⅱ）对任意的，，且.
①若，求数列是等比数列的充要条件.
②求证：数列是等比数列，其中.

3 . 已知数列，，，则____．

4 . 已知数列满足,,,.
(1)证明:数列是等比数列;
(2)求数列的通项公式;
(3)证明:.

5 . 某工厂2019年初有资金1000万元，资金年平均增长率可达到20％，但每年年底要扣除万元用于奖励优秀职工，剩余资金投入再生产．
（1）以第2019年为第一年，设第年初有资金万元，用和表示，并证明数列为等比数列；
（2）为实现2029年初资金翻再现两番的目标，求的最大值（精确到万元）．
（参考数据：，，）

6 . 给定数列，若满足（且），对于任意的，都有，则称数列为“指数型数列”．
（1）已知数列的通项公式为，试判断数列是不是“指数型数列”；
（2）已知数列满足，，证明数列为等比数列，并判断数列是否为“指数型数列”，若是给出证明，若不是说明理由；
（3）若数列是“指数型数列”，且，证明数列中任意三项都不能构成等差数列．

7 . 已知数列的前n项和为,（n∈N^*）．
（1）证明数列是等比数列，求出数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和；
（3）数列中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，求出一组符合条件的项；若不存在，说明理由.

8 . 已知数列中，，前项和为，若对任意的，均有（是常数，且）成立，则称数列为“数列”.
（1）若数列为“数列”，求数列的前项和；
（2）若数列为“数列”，且为整数，试问：是否存在数列，使得对任意，成立？如果存在，求出这样数列的的所有可能值，如果不存在，请说明理由.

9 . 设数列的前n项和为，对任意的正整数n，都有成立，记.
(1)求数列与数列的通项公式；
(2)求证：①对恒成立.②对恒成立，其中为数列的前n项和.
(3)记，为的前n项和，求证：对任意正整数n，都有.

10 . 已知数列满足,.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和；
（3）设数列满足,其中.记的前项和为.是否存在正整数,使得成立？若存在,请求出所有满足条件的；若不存在,请说明理由.