1 . 已知双曲线的左，右焦点分别为，，直线与双曲线在第一、三象限分别交于点、，为坐标原点.有下列结论：①四边形是平行四边形；②若轴，垂足为，则直线的斜率为；③若，则四边形的面积为；④若为正三角形，则双曲线的离心率为.其中正确命题的序号是______.

2 . 已知双曲线C的方程为．

(1)直线截双曲线C所得的弦长为，求实数m的值；
(2)过点作直线交双曲线C于P、Q两点，求线段的中点M的轨迹方程．

3 . 已知点，依次为双曲线的左、右焦点，且，令．
(1)设此双曲线经过第一、三象限的渐近线为，若直线与直线垂直，求双曲线的离心率；
(2)若，以此双曲线的焦点为顶点，以此双曲线的顶点为焦点得到椭圆C，法向量为的直线与椭圆C交于两点M，N，且，求直线的一般式方程．

4 . 如图，、是椭圆与双曲线的公共焦点，A、B分别是、在第二、四象限的交点，若，则与的离心率之积的最小值为______.

5 . 已知双曲线，及直线.
(1)若与有且只有一个公共点，求实数的值；
(2)若与的左右两支分别交于A、B两点，且的面积为，求实数的值.

6 . 已知双曲线的左焦点为，过F且与x轴垂直的直线与双曲线交于A、B两点，O为坐标原点，的面积为，则F到双曲线的渐近线距离为_________.

8 . 已知双曲线Γ：（其中）的左、右焦点分别为（c，0）、（c，0）（其中）.
(1)若双曲线Γ过点（2，1）且一条渐近线方程为；直线l的倾斜角为，在y轴上的截距为.直线l与该双曲线Γ交于两点A、B，M为线段AB的中点，求△的面积；
(2)以坐标原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线Γ在第一象限的交点为P.过P作圆的切线，若切线的斜率为，求双曲线Γ的离心率.

9 . 已知双曲线的实轴长为2，右焦点为.
(1)求双曲线的方程；
(2)已知直线与双曲线交于不同的两点，，求.

10 . 已知双曲线的焦距为4，虚轴长为2，左右焦点分别为和.直线与曲线交于不同的两点.
(1)求双曲线的方程及其离心率；
(2)如果直线过点且，求直线的方程；
(3)是否存在直线使得两点都在以为圆心的圆上？如果存在，求的取值范围；如果不存在，请说明理由.