【推荐1】已知数列满足，.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）证明：
①对任意的，；
②.

【推荐2】已知数列的前项和为，且满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，求证：．

【推荐3】已知是公比的等比数列，且满足，，数列满足：.
（1）求数列和的通项公式；
（2）令，求证：.

【推荐1】容器A内装有6升浓度为20%的酒精水溶液，容器B内装有4升浓度为5%的酒精水溶液，先将A内的酒精水溶液倒1升进入B内，再将B内的酒精水溶液倒1升进入A内，称为一次操作；这样反复操作n次，A、B容器内的酒精水溶液浓度分别为，.（酒精水溶液浓度=（酒精水溶液中乙醇体积/酒精水溶液总体积）×100%）
(1)请计算，，并判断数列是否为等比数列?若是，求出其通项公式；若不是，请说明理由；
(2)至少要经过几次操作，A、B两容器中溶液浓度之差小于1%?（，）
(3)求，的表达式.

【推荐2】设数列满足，，．数列满足是非零整数，且对任意的正整数和自然数，都有．
（1）求数列和的通项公式；
（2）记，求数列的前项和．

【推荐3】随着信息技术的快速发展，离散数学的应用越来越广泛．差分和差分方程是描述离散变量变化的重要工具，并且有广泛的应用．对于数列，规定为数列的一阶差分数列，其中，规定为数列的二阶差分数列，其中．
(1)数列的通项公式为，试判断数列，是否为等差数列，请说明理由?
(2)数列是以1为公差的等差数列，且，对于任意的，都存在，使得，求a的值．

【推荐1】已知数列，证明：
（Ⅰ）；
（Ⅱ）；
（Ⅲ）．

【推荐3】已知数列的前n项和满足.
(1)求的通项公式；
(2)证明：能被5整除；
(3)证明：.

【推荐1】已知函数，．
（1）当时，求证：；
（2）记数列的前项和为，若，求证：．

【推荐2】已知数列和满足：，，且数列为等差数列.设，数列的前n项和为.
（1）求与的通项公式：
（2）若对于任意均有，求正整数k的值.