【推荐1】如图，在四棱锥中，为等边三角形，，，，.

(Ⅰ)若点为的中点，求证:平面；
(Ⅱ)求四棱锥的体积.

【推荐2】如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，，M，N分别为，AC的中点．

(1)求证：平面；
(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值．
条件①：；
条件②：．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．

【推荐3】已知边长为的正方形与菱形所在平面互相垂直， 为中点．

（1）求证： 平面；
（2）若,求四面体的体积．

【推荐1】如图，组合体由半个圆锥和一个三棱锥构成，其中是圆锥底面圆心，是圆弧上一点，满足是锐角，.

（1）在平面内过点作平面交于点，并写出作图步骤，但不要求证明；
（2）在（1）中，若是中点，且，求直线与平面所成角的正弦值.

【推荐2】如图，在长方体中，，，点在棱上运动.

(1)证明：；
(2)设为棱的中点，在棱上是否存在一点，使得平面，若存在，求的值，若不存在，说明理由；
(3)求直线与平面所成角的取值范围.

【推荐3】如图，在直四棱柱中，

(1)若为的中点，试在上找一点，使平面；
(2)若四边形是正方形，且与平面所成角的余弦值为，求二面角的余弦值.

【推荐1】在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，底面，点、分别是棱、的中点.

（1）证明：平面；
（2）在线段上是否存在点，使得与平面所成最大角的正切值为，若存在，请求出点的位置；若不存在，请说明理由.

【推荐2】如图，正方形ABCD中，边长为2，E为AB中点，F是边BC上的动点．

（1）将△ADE沿DE翻折90°到△SDE，求二面角S-DC-E的正切值；
（2）若，将△ADE沿DE翻折到△SDE，△BEF沿EF翻折到△SEF，接DF，设直线DS与平面DEF所成角为θ，求的最大值．

【推荐3】如图，四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，平面平面，点为棱的中点.

(1)证明：平面平面；
(2)当二面角的余弦值为时，求直线与平面所成的角.

【推荐1】如图，已知四棱锥的底面是菱形，对角线交于点，，，，底面，设点满足．

（1）当时，求直线与平面所成角的正弦值；
（2）若二面角的大小为，求的值．

【推荐2】木工技艺是我国传统文化瑰宝之一，体现了劳动人民的无穷智慧.很多古代建筑和家具保存到现代依然牢固，这其中，有连接加固功能的“楔子”发挥了重要作用.如图，楔子状五面体EF-ABCD的底面ABCD为一个矩形，AB=8，AD=6，EF平面ABCD，棱EA=ED=FB=FC=5，设M，N分别是AD，BC的中点.

(1)证明：E，F，M，N四点共面，且平面EFNM⊥平面ABCD；
(2)若二面角F-BC-A的大小为，求直线BF与平面EFCD所成角的正弦值.

【推荐3】如图，在正方体中，为棱上的动点（不与重合）.

(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值的取值范围.