【推荐1】已知.
(1)求函数的定义域；
(2)求证：为偶函数；
(3)指出方程的实数根个数，并说明理由.

【推荐2】已知函数的周期为，图象的一个对称中心为，将函数图象上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度后得到函数的图象.
（1）求函数与的解析式；
（2）是否存在，使得？若存在，请确定
的个数；若不存在，说明理由.

【推荐3】已知函数，．
（1）求的导函数；
（2）证明：在区间上有且只有一个极值点．

【推荐1】已知，.
(1)若曲线在点处的切线与轴重合，求的值；
(2)若函数在区间上存在极值，求的取值范围；
(3)设，在（2）的条件下，试判断函数在区间上的单调性，并说明理由.

【推荐2】已知函数，其中.
(1)当时，求的极值；
(2)若不等式对任意恒成立，求的取值范围.

【推荐3】“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长.某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如图）

步骤1：设圆心是，在圆内异于圆心处取一点，标记为；
步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点；
步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕；
步骤4：不断重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕.则这些折痕所围成的图形是一个椭圆.
现取半径为的圆形纸片，定点到圆心的距离为，按上述方法折纸.以向量的方向为轴正方向，线段中点为原点建立平面直角坐标系.
(1)求折痕围成的椭圆的标准方程；
(2)已知点是圆上任意一点，过点做椭圆的两条切线，切点分别是，求面积的最大值，并确定此时点的坐标.
注：椭圆：上任意一点处的切线方程是：.

【推荐1】已知函数在时取得极值 .
(1)求的解析式；
(2)若函数有一个零点，求实数的取值范围.

【推荐2】函数在处有极值，且其图像在处切线与平行.
（1）求函数的单调区间；
（2）求函数的极大值与极小值的差

【推荐3】已知函数，．
(1)当时，求的极值；
(2)若不等式在时恒成立，求的取值范围．