【推荐1】如图，正方形的边长为10米，以点A为顶点，引出放射角为的阴影部分的区域，其中，，记，的长度之和为．则的最大值为___________．

【推荐2】已知平面向量、的夹角为，且，则的最大值是_____．

【推荐3】如图，已知点是圆台的上底面圆上的动点，在下底面圆上，，则直线与平面所成角的余弦值的最小值为__________．

【推荐1】某小区拟对如图一直角△ABC区域进行改造，在三角形各边上选一点连成等边三角形,在其内建造文化景观．已知,则面积最小值为____

【推荐2】中，，点是内切圆上一点，且 ，则的最小值是_________.

【推荐3】意大利著名画家、数学家、物理学家达·芬奇在他创作《抱银貂的女子》时思考过这样一个问题：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的悬链线问题，连接重庆和湖南的世界第一悬索桥——矮寨大桥就采用了这种方式设计．经过计算，悬链线的函数方程为，并称其为双曲余弦函数．若对恒成立，则实数m的取值范围为______．

             

【推荐1】已知为锐角三角形，，，，是角，，分别所对的边，若；且，则面积的取值范围是______.

【推荐2】在中，角的对边分别为，已知，，，则的最大值为_______.

【推荐3】在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若且，则_____．

【推荐1】已知三角形ABC中，点G、O分别是的重心和外心，且，，则边的长为________.

【推荐2】已知正的边长为2，PQ为内切圆O的一条直径，M为边上的动点，则的取值范围为______________.

【推荐3】在中，，O是的外心，则的最大值为_____________