【推荐1】如图甲是由正方形，等边和等边组成的一个平面图形，其中，将其沿，，折起得三棱锥，如图乙.

（1）若O为AC中点，求证：平面；
（2）过棱作平面交棱于点，且三棱锥和的体积比为1:2，异面直线AM和BC所成角的余弦值.

【推荐2】如图，在三棱锥中，M为的中点，，.

（1）求二面角的大小；
（2）求异面直线与所成角的余弦值.

【推荐3】亭子是一种中国传统建筑，多建于园林，人们在欣赏美景的同时也能在亭子里休息、避雨、乘凉（如图1）.假设我们把亭子看成由一个圆锥与一个圆柱构成的几何体（如图2，其中，，三点共线）.一般地，设圆锥中母线与底面所成角的大小为，当时，方能满足建筑要求.已知圆锥高为1.6米，底面半径为2.4米.圆柱高为3米，底面半径为2米.

(1)求几何体的体积；
(2)如图2，设为圆柱底面半圆弧的三等分点，求圆柱母线和圆锥母线所在异面直线所成角的正切值，并判断该亭子是否满足建筑要求.

【推荐1】如图，四棱柱的底面是棱长为2的菱形，对角线与交于点为锐角，且四棱锥的体积为2.
   
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.

【推荐2】在四棱锥中，底面为直角梯形，，，侧面平面，．
（1）求证：；
（2）已知平面与平面的交线为l，在l上是否存在点N，使得二面角的余弦值的绝对值为？若存在，请确定点N的位置；若不存在，请说明理由．

【推荐3】如图，在直三棱柱中，为的中点，证明：平面

【推荐2】如图，在空间几何体中，均为正三角形，且平面平面，平面平面.

(1)求证：平面；
(2)是棱上的一点，当与平面所成角为时，求二面角的余弦值.

【推荐3】如图在直三棱柱ABC ­ A₁B₁C₁中，已知AC⊥BC，BC＝CC₁，设AB₁的中点为D，B₁C∩BC₁＝E.

（1）求证：DE∥平面AA₁C₁C；
(2) 求证：BC₁⊥AB₁；
（3）设AC=BC＝CC₁ =1,求锐二面角A- B₁C- A₁的余弦值．

【推荐1】如图,在底面为平行四边形的四棱锥O-ABCD中,BC⊥平面OAB,E为OB中点,OA=AD=2AB=2,OB=.

(1)求证:平面OAD⊥平面ABCD;
(2)求二面角B-AC-E的余弦值.

【推荐2】如图1，在直角梯形中，为线段的中点.将沿折起，使平面平面，得到几何体，如图2所示.
（1）求证：平面平面；
（2）求二面角的余弦值.

【推荐3】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，，为等边三角形，平面平面ABCD，M，N分别是线段PD和BC的中点.

（1）求直线CM与平面PAB所成角的正弦值；
（2）求二面角D-AP-B的余弦值；
（3）试判断直线MN与平面PAB的位置关系，并给出证明.