【推荐1】同学们，你们是否注意到，自然下垂的铁链；空旷的田野上，两根电线杆之间的电线；峡谷的上空，横跨深洞的观光索道的钢索.这些现象中都有相似的曲线形态.事实上，这些曲线在数学上常常被称为悬链线.悬链线的相关理论在工程､航海､光学等方面有广泛的应用.在恰当的坐标系中，这类函数的表达式可以为（其中是非零常数，无理数），对于函数以下结论正确的是___________.
①是函数为偶函数的充要条件；
②是函数为奇函数的充要条件；
③如果，那么为单调函数；
④如果，那么函数存在极值.

【推荐2】意大利画家达·芬奇在绘制《抱银貂的女子》时曾思索女子脖子上的黑色项链的形状对应的曲线是什么？即著名的“悬链线问题”.年后约翰·伯努利与莱布尼茨得到悬链线的解析式为，其中为悬链线系数，称为双曲余弦函数，且，相应地双曲正弦函数为.若直线与双曲余弦曲线和双曲正弦函数曲线分别相交于点，曲线在A点处的切线与曲线在点处的切线相交于点，给出如下结论：
①函数为奇函数；
②；
③的最小值为；
④的面积随的增大而减小.
其中所有正确结论的序号是_____________．

【推荐3】定义在实数集R上的函数满足，且，现有以下三种叙述：
①8是函数的一个周期；
②的图象关于直线对称；
③是偶函数．
其中正确的序号是__________ .

【推荐1】已知其中e是自然对数的底数，现给出下列四个结论：
①函数是偶函数；                    ②是函数的周期；
③函数在上单调递减；   ④函数在上有3个极值点．
其中所有正确结论的序号为___________．

【推荐2】对函数f(x)＝xsin x，现有下列命题：①函数f(x)是偶函数；②函数f(x)的最小正周期是2π；③点(π，0)是函数f(x)的图象的一个对称中心；④函数f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减．其中是真命题的是________．(写出所有真命题的序号)

【推荐3】已知函数，则下列说法正确的是__________.
①是的周期
②的图象有对称中心，没有对称轴
③当时，
④对任意在上单调

【推荐1】已知恒正函数，.若，且.则的最大值为_______.

【推荐2】已知函数和，其中为常数且．若存在斜率为1的直线与曲线同时相切，则的最小值为_________．

【推荐3】已知定义在上的可导函数和满足：，，且为奇函数，则导函数的图象关于__________对称（写出一种对称即可，不必考虑所有情况）；若，，则__________.

【推荐1】若函数，则___________.

【推荐2】若定义在上的函数满足：当时，，且，则__________.

【推荐3】已知函数的定义域为R，且满足下列条件：①；②则___________；若方程在上有2020个不同的实数根，则实数的取值范围是___________.