【推荐1】如图，在直三棱柱中，，是的中点，.

（1）求证：平面；
（2）若异面直线和所成角的余弦值为，求四棱锥的体积.

【推荐2】如图1，已知三棱锥，图2是其平面展开图，四边形为正方形，和均为正三角形，．

（1）求二面角的余弦值；
（2）若点在棱上，满足，，点在棱上，且，求的取值范围．

【推荐3】如图在直棱柱中，，、AC、的中点分别为D、E、F.

（1）求证平面BEF；
（2）若异面直线与BF所成的角为，且BC与平面BEF所成角的正弦值为，求二面角的余弦值.

【推荐1】如图所示，在四棱锥中，底面四边形为等腰梯形，为中点，平面，．

（1）证明：平面平面；
（2）若直线与平面所成的角为30°，求二面角的余弦值．

【推荐2】如图1，在中，B=90°，AB=4，BC=2，D，E分别是边AB，AC的中点，现将沿着DE折起，使点A到达点P的位置，连接PB，PC，得到四棱锥P-BCED，如图2所示，设平面平面PBC=l.

(1)求证：平面PBD；
(2)若点B到平面PDE的距离为，求平面PEC与平面PBD夹角的正弦值.

【推荐3】如图，平行六面体的底面是矩形，P为棱上一点.且，F为的中点.

(1)证明：；
(2)若.当直线与平面所成的角为，且二面角的平面角为锐角时.求三棱锥的体积.

【推荐1】如图，在三棱柱中，平面 .

(1)求证:;
(2)若，直线与平面所成的角为 ，求二面角的正弦值.

【推荐2】四面体中，，是上一动点，、分别是、的中点．

（1）当是中点，时，求证：；
（2），当四面体体积最大时，求二面角的平面角的正弦值．

【推荐3】中国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广．刍，草也．甍，屋盖也．”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱．刍甍是茅草屋顶．”现有一个刍甍如图所示，四边形ABCD为正方形，四边形ABFE，CDEF为两个全等的等腰梯形，，，，．
   
(1)当点N为线段AD的中点时，求证：直线平面EFN；
(2)当点N在线段AD上时（包含端点），求平面BFN和平面ADE的夹角的余弦值的取值范围．