名校
1 . 【模型提出】如图,已知线段的长度为,在线段所在直线外有一点,且,想确定满足条件的点的位置,可以以为底边构造一个等腰直角三角形,再以点为圆心,长为半径画圆,则点在的优弧上.即:若线段的长度已知,的大小确定,则点一定在某一个确定的圆上,即定弦定角必定圆,我们把这样的几何模型称之为“定弦定角”模型.
【模型应用】如图,在正方形中,,点分别是边、上的动点,,连接、,与交于点.
(2)点从点到点的运动过程中,点经过的路径长为______;
(3)若点是的内心,连接,则线段的最小值为______.
【模型应用】如图,在正方形中,,点分别是边、上的动点,,连接、,与交于点.
(1)求证:;
(2)点从点到点的运动过程中,点经过的路径长为______;
(3)若点是的内心,连接,则线段的最小值为______.
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名校
2 . 在中,.点D、E分别在的边上,且均不与的顶点重合,连接,将沿折叠,使点A的对称点始终落在四边形的外部,交边于点F,且点与点C在直线的异侧.(1)如图①,则_______.
(2)如图②,则_______.
(3)如图③,设图②中的.求的度数;
(4)当的某条边与或垂直时,直接写出的度数.
(2)如图②,则_______.
(3)如图③,设图②中的.求的度数;
(4)当的某条边与或垂直时,直接写出的度数.
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3 . 【问题呈现】数学兴趣小组遇到这样一个问题:如图①,是的半径,.点P在上,将点P沿的方向平移到点Q,使.当点P在上运动一周时,试探究点Q的运动路径.
【问题解决】经过讨论,小组同学想利用平行四边形的知识解决该问题:如图②,在线段上截取,连结、,由平行四边形的性质可推出点Q的运动路径是以点B为圆心、3为半径的圆.下面是部分证明过程:
证明:在线段上截取,连接、.
1°当点P在直线外时,
2°当点P在直线上时,
易知.
综上,点Q的运动路径是以点B为圆心、3为半径的圆.
请你补全证明中缺失的过程.
【结论应用】在上述问题的条件下,记点M是线段的中点,如图②.若点P在上运动一周,则点M的运动路径长为 .
【拓展提升】如图③,在矩形中,,.点P是平面内一点,,将点P沿的方向平移到点Q,使.点M是线段上的任意一点,连结.设线段长度的最大值为a,最小值为b,则 .
【问题解决】经过讨论,小组同学想利用平行四边形的知识解决该问题:如图②,在线段上截取,连结、,由平行四边形的性质可推出点Q的运动路径是以点B为圆心、3为半径的圆.下面是部分证明过程:
证明:在线段上截取,连接、.
1°当点P在直线外时,
证明过程缺失 |
易知.
综上,点Q的运动路径是以点B为圆心、3为半径的圆.
请你补全证明中缺失的过程.
【结论应用】在上述问题的条件下,记点M是线段的中点,如图②.若点P在上运动一周,则点M的运动路径长为 .
【拓展提升】如图③,在矩形中,,.点P是平面内一点,,将点P沿的方向平移到点Q,使.点M是线段上的任意一点,连结.设线段长度的最大值为a,最小值为b,则 .
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4 . 如图①,是边长为的等边三角形.动点从点出发,沿折线向终点运动.当点不与的顶点重合时,以为边作等边,使点和点在的同侧,再作.(1)当点在边上运动时,若,则的值为 ;
(2)如图②,当点在边上运动时,求证:;
(3)当的周长最小时,求的长;
(4)当点在边上运动时,设线段与线段交于点.在不添加辅助线的情况下,图中始终与相似的三角形有 个,并直接写出与相似比为时线段的长.
(2)如图②,当点在边上运动时,求证:;
(3)当的周长最小时,求的长;
(4)当点在边上运动时,设线段与线段交于点.在不添加辅助线的情况下,图中始终与相似的三角形有 个,并直接写出与相似比为时线段的长.
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5 . 在平面直角坐标系中,为坐标原点,抛物线(为常数)与轴交于,两点,与轴交于点,点在抛物线上,设点的横坐标为.
(1)求此抛物线对应的函数表达式;
(2)将此抛物线上两点之间的部分(包括两点)记为图象.图象的最高点与最低点的纵坐标差为时,求的值;
(3)点是平面直角坐标系中的一点,其坐标为,过点作垂直于直线,垂足为,连接,以为邻边构造.
①当轴时,求的周长;
②当抛物线在内部的部分随的增大而增大或随的增大而减小时,请直接写出的取值范围.
(1)求此抛物线对应的函数表达式;
(2)将此抛物线上两点之间的部分(包括两点)记为图象.图象的最高点与最低点的纵坐标差为时,求的值;
(3)点是平面直角坐标系中的一点,其坐标为,过点作垂直于直线,垂足为,连接,以为邻边构造.
①当轴时,求的周长;
②当抛物线在内部的部分随的增大而增大或随的增大而减小时,请直接写出的取值范围.
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6 . 如图①,正方形的边长为4,连接.动点P从点A出发,以每秒1个单位的速度沿线段向终点B运动,过点P作交于点E.以为一边向右作正方形.设点P的运动时间为t秒.正方形与重叠部分图形的面积为S.(1)当点F落在上时,________秒;
(2)如图②,当时,重叠部分图形的面积________;
(3)在点P运动的过程中,求出S与t之间的关系式;(用含t的式子表示S)
(4)连接,当是等腰三角形时,直接写出t的值.
(2)如图②,当时,重叠部分图形的面积________;
(3)在点P运动的过程中,求出S与t之间的关系式;(用含t的式子表示S)
(4)连接,当是等腰三角形时,直接写出t的值.
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7 . 如图,在中,,,,是边上的中线.P,Q两点同时从点A出发,点P在上以的速度向终点C运动;点Q在上以的速度向终点B运动,以,为邻边作平行四边形.设点P的运动时间为x(),平行四边形.与重叠部分图形的面积为.
(2)当点E落在中线上时,求x的值;
(3)当时,求y关于x的函数解析式,并写出自变量x的取值范围.
(1)点P到的距离为________;(用含x的代数式表示)
(2)当点E落在中线上时,求x的值;
(3)当时,求y关于x的函数解析式,并写出自变量x的取值范围.
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8 . 如图,在平面直角坐标系中,抛物线(是常数)经过点.点A在抛物线上,且点A的横坐标为,点B的坐标为.(1)求该抛物线对应的函数解析式及顶点坐标;
(2)过点A作轴于点,以、为邻边作.
①当时,求的面积;
②当的面积被轴平分时,求的值;
③若,当抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而减小,或者随的增大而增大时,直接写出的取值范围.
(2)过点A作轴于点,以、为邻边作.
①当时,求的面积;
②当的面积被轴平分时,求的值;
③若,当抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而减小,或者随的增大而增大时,直接写出的取值范围.
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9 . 如图,是等边的外接圆.【问题原型】如图,连结,延长交弦于点,交于点.连结、.求证:;
【问题解决】小明给出了自己的证明方法如下:
∵三角形外接圆的圆心为三边垂直平分线的交点且为等边三角形,
∴,,
∴,则为等边三角形,
同理可得:也为等边三角形,
∴.
【方法应用】如图2,若为上任意一点,连结,,,(1)中的结论是否成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由.
【拓展提升】如图③,若的半径为,且为上一点,且,则四边形的面积的是______.
【问题解决】小明给出了自己的证明方法如下:
∵三角形外接圆的圆心为三边垂直平分线的交点且为等边三角形,
∴,,
∴,则为等边三角形,
同理可得:也为等边三角形,
∴.
【方法应用】如图2,若为上任意一点,连结,,,(1)中的结论是否成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由.
【拓展提升】如图③,若的半径为,且为上一点,且,则四边形的面积的是______.
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10 . 【基础巩固】
(1)如图①,在中,,,点D为延长线上一点,连接,将线段绕点A逆时针旋转得到线段,连接.求证:;
【尝试应用】
(2)如图②,在(1)的条件下,连接交于点F,若,,求线段的长;
【拓展提高】
(3)如图③,在正方形中,点E是对角线延长线上的一点,连接,将绕点D逆时针旋转得到线段交于点F,交于点G,连接.若,,直接写出的长.
(1)如图①,在中,,,点D为延长线上一点,连接,将线段绕点A逆时针旋转得到线段,连接.求证:;
【尝试应用】
(2)如图②,在(1)的条件下,连接交于点F,若,,求线段的长;
【拓展提高】
(3)如图③,在正方形中,点E是对角线延长线上的一点,连接,将绕点D逆时针旋转得到线段交于点F,交于点G,连接.若,,直接写出的长.
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