1 . 已知是边长为4的等边三角形，点D是线段BC上的动点（不与点B、C重合），将AD绕点A逆时针方向旋转得到AE，连接DE，CE．

（1）求证：
（2）当点D运动到什么位置时的面积最大？请求出这个最大值．

2 . 如图，和中，，，，边与边交于点（不与点，重合），点，在异侧，为的内心．
       
（1）求证：；
（2）设，用含的式子表示为___________，则求的最大值为_______．
（3）当时，的取值范围为，则________，________．

3 . 如图1，在等腰三角形中，点分别在边上，连接点分别为的中点．
   
（1）观察猜想
图1中，线段的数量关系是____，的大小为_____；
（2）探究证明
把绕点顺时针方向旋转到如图2所示的位置，连接判断的形状，并说明理由；
（3）拓展延伸
把绕点在平面内自由旋转，若，请求出面积的最大值．

4 . 如图，△ABC和△ADE中，AB=AD，BC=DE，∠B=∠D，边AD与边BC交于点P(不与点B、C重合)，点B、E在AD异侧，I为△APC的内心(三条角平线的交点) ．

（1）求证：∠BAD=∠CAE；
（2）当∠BAC=90°时,
①若AB=16，BC=20时，求线段PD的最大值；
②若∠B=36°，∠AIC的取值范围为m°<∠AIC<n°，求m、n的值．

5 . 在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，以CA为边在∠ACB的另一侧作∠ACM=∠ACB，点D为射线BC上任意一点，在射线CM上截取CE=BD，连接AD、DE、AE．
（1）如图1，当点D落在线段BC的延长线上时，求∠ADE的度数；
（2）如图2，当点D落在线段BC（不含边界）上时，AC与DE交于点F，试问∠ADE的度数是否发生变化？如果不变化，请给出理由；如果变化了，请求出∠ADE的度数；
（3）在（2）的条件下，若AB=6，求CF的最大值．

6 . 如图，在中，，，，点是内一点，则点到三个顶点的距离和的最小值是________．

7 . 如图，Y已知中，，，，点分别是边上的点，且，则的最小值是___________．
   

8 . 在中，，点D是直线上一点（不与B、C重合），以为一边在的右侧作，使，连接．

(1)求证：
(2)当四边形的周长取最小值时，求的长．
(3)若，当点D在射线上移动，则和之间有怎样的数量关系？并说明理由．

9 . 如图，等腰直角中，，，D为中点，，P为上一个动点，当P点运动时，的最小值为______．

10 . 如图，在中，．按以下步骤作图：
①以点C为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M、N；
②分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点F；
③作射线．若，E为边的中点，D为射线上一动点．
则的最小值为 _____．