1 . 等边的两边、所在直线上分别有两点M、N，D为外一点，且，，．当点M、N分别在直线、上移动时，探究之间的数量关系以及的周长Q与等边的周长L的关系．
   
(1)如图①，当点M、N在边、上，且时，之间的数量关系式为______；此时的值是______；
(2)如图②，当点M、N在边、上，且时，猜想（1）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；
(3)如图③，当点M、N分别在边、的延长线上时，若，试用含x、L的代数式表示Q．

2 . 已知，如图1，是边长为1的正方形的对角线，平分交于点，延长到点，使，连接，交的延长线于点．
   
(1)求证：；
(2)求的长；
(3)如图2，在上取一点，且，若以为轴，为轴建立直角坐标系，问在直线上是否存在点P，使得以、、为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的P点坐标；若不存在，说明理由．

3 . 如图，在等边中，点D是线段上一点作射线，点B关于射线的对称点为E，连接延长，交射线于点F．
   
(1)补全图形；
(2)求的度数；
(3)用等式表示线段、、之间的数量关系，并证明．

4 . 如图，正方形的边长为6，E，F分别是，边上的点，且，将绕点D逆时针旋转，得到．

(1)求证：；
(2)当时，求的长．

5 . 如图，已知中，，厘米，厘米，点为的中点，如果点在线段上以每秒厘米的速度由点向点运动，同时，点在线段上以每秒厘米的速度由点向点运动，设运动时间为秒．
   
(1)用含的代数式表示的长度：　 　．
(2)若点、的运动速度相等，经过秒后，与是否全等，请说明理由；
(3)若点、的运动速度不相等，当点的运动速度为多少时，能够使与全等？

6 . 【问题背景】
在四边形中，，，，、分别是上的点，且，试探究图1中线段之间的数量关系．

   

(1)【初步探索】
小光同学认为：延长到点，使，连接，先证明，再证明，则可得到之间的数量关系是         ．
(2)【探索延伸】
在四边形中如图2，，，分别是上的点，，上述结论是否仍然成立？说明理由．

   

(3)【结论运用】
如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以80海里小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以100海里/小时的速度前进小时后，指挥中心观测到甲、乙舰艇分别到达处，且两舰艇之间的夹角为，试求此时两舰艇之间的距离．

   

7 . 如图（1），，，，．点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）．
   
(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当时，与是否全等，请说明理由；
(2)如图（2），将图（1）中的“，”改为“”，其他条件不变．设点Q的运动速度为xcm/s，是否存在实数x，使得与全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．

8 . 如图，已知，，且．

(1)求证：；
(2)若，，求的度数．

9 . 如图①，在正方形中，点分别在上且．
       
(1)试探索线段的大小关系，写出你的结论并说明理由；
(2)连接，分别取的中点，顺次连接，得到四边形：
①请在图②中补全图形；
②四边形是什么特殊平行四边形？请说明理由．

10 . 如图，，，，，，则（　　）

   

A．

B．

C．

D．无法计算