1 . （1）感知：如图1，四边形、均为正方形，试猜想线段和的数量关系为______．
（2）探究：如图2，四边形、均为菱形，且，求证：．
（3）应用：如图3，四边形、均为菱形，点在边上，点在的延长线上，若，，的面积为8，则菱形的面积为______．

2 . 如图，在中，，，分别为，的中点，四边形的一边经过点，，对角线分别与，交于点、．

(1)求证：四边形为菱形．
(2)当，时，求的长．

3 . 如图，矩形中，，，点，分别在边，上，且，连接，，并以，为边作平行四边形．

(1)连接，求的长度；
(2)求平行四边形周长的最小值；
(3)当平行四边形为正方形时如图，连接，分别交，于点、，求：的值．

4 . 如图1，是等腰直角三角形，，点在的内部，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接、、

(1)判断线段与的数量关系并给出证明；
(2)如图2，当B、D、E三点在同一条直线上时，写出线段、、的数量关系为          ．
(3)如图3，若，，点为线段中点，当、、三点在同一条直线上时，连接，求的长度．

5 . 如图1，在中，点D，E分别在，上，，点F在上，，．

(1)在图1中找出与相等的角并证明；
(2)求证：；
(3)如图2，连接，点M在上，，，求．（用含k的代数式表示）

6 . 问题背景如图1，在正方形中，点E，F分别是边上的点，且，连接，探究之间的数量关系．

(1)探究发现   李雷同学的方法是将绕点A顺时针旋转至的位置，然后再证明，从而得到之间的数量关系为：______；
(2)拓展延伸   如图2，在四边形中，，，点E，F分别是边上的点，且，连接，则（1）中结论是否仍然成立？并说明理由；
(3)归纳应用   如图3，等边三角形的边长为4，点D，E在直线上（点D在点E的左侧），且，当时，请直接写出线段的长．

7 . 如图，已知是等边三角形，点D、E分别在上，且，与相交于点P．

   

(1)求证：；
(2)如图2，将沿直线翻折得到对应的，过C作，交射线于点，与相交于点F，连接．
①试判断四边形的形状，并说明理由；
②若四边形的面积为，，求的长．

8 . 如图，点E在四边形的边上，连接，并延长交的延长线于点F．已知，．
求证：．

9 . 【特例感知】
（1）如图①，和是等腰直角三角形，，点在上，点在的延长线上，连接，，写出图中一对你认为全等的三角形_________；
【类比迁移】
（2）如图②，将图1中的绕着点顺时针旋转，那么第（1）问的结论是否仍然成立？如果成立，证明你的结论；如果不成立，说明理由．
【方法运用】
（3）如图③，若，点是线段外一动点，，连接．若将绕点顺时针旋转得到，连接，是否有最小值，若有请求出最小值；若没有，请说明理由．

10 . 在矩形中，（k为常数），点P是对角线上一动点（不与B，D重合），，将射线绕点P逆时针旋转90°与射线交于点E，连接．

   

(1)特例发现：如图1，当时，将点P移动到对角线交点处，则______， ______；当点P移动到其它位置时，的大小______（填“改变”或“不变”）；
(2)类比探究：如图2，若时，当k的值确定时，请探究的大小是否会随着点的移动而发生变化，并说明理由；
(3)拓展应用：当时，如图2，连接，求的长．